Bleibt das 4343\frac{4}{3} Problem des klassischen Elektromagnetismus in der Quantenmechanik?

Problemskizze

In der zitierten Referenz beginnt Feynman seine Argumentation mit der Feststellung, dass die Energie für eine Trägheitskugel einen Radius hat$a$und einheitliche Ladung$q$wird von gegeben

$$U_{elec} = \int_{\mathbb{R}^3} dV \, u_{elec} = \int_{\mathbb{R}^3} dV \, \left( \frac{\epsilon_0 E}{2} \right) = \frac{1}{2a} \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0} \equiv \frac{e^2}{2a} \, \qquad \qquad(*)$$

wo$E$und$u_{elec}$sind sein elektrisches Feld und seine Dichte und die letzte Gleichung definiert das Symbol$e^2$. Betrachten wir nun die Kugel als sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegend$v \ll c$, seine Impulsdichte ergibt sich aus dem Poynting-Vektor:

$$\vec{p} = \int_{\mathbb{R}^3} dV \vec{S} = \int_{\mathbb{R}^3} dV \left( \epsilon_0 \vec{E} \times \! \vec{B} \right) = \left( \frac{2}{3} \frac{e^2}{a c^2} \right) \vec{v} \equiv m_e \vec{v} \, , \qquad \qquad(**)$$

wobei die letzte Gleichung die elektromagnetische Masse definiert $m_e$. Wir können auch eine zweite elektrische Masse zuordnen$m_{e}'$zum Feld$U_{elec}$unter Verwendung der speziellen Relativitätstheorie (SR):

$$E = m c^2 \Longrightarrow \frac{U_{elec}}{c^2} = m_{e}' \Longleftrightarrow \frac{e^2}{2a c^2} = m_{e}' = \frac{3}{4} m_{e} \Longrightarrow U_{elec} = \frac{4}{3} m_{e} c^2 \, ,$$

das heißt, die "relativistische" Masse$m_e'$ist nicht dasselbe wie die "elektrische" Masse$m_e$, wobei das Absurde in den obigen Gleichungen explizit ist.

Das Schlupfloch

Haben wir das Recht, SR in einem einzigen Schritt einer Ableitung aufzurufen? Obwohl wir Einsteins berühmte Formel verwendet haben, um zu dem zu gelangen$\frac{4}{3}$Problem, beachten Sie, dass wir SR früher nicht verwendet haben:$(*)$und$(**)$sind nicht einmal Lorentz-invariant! Wenn wir die Berechnungen anpassen, um SR einzubeziehen,$U_{elec}$und$\vec{p}$verwandeln als

$$\begin{align} U_{elec}' &= \gamma \left( U_{elec} + \vec{p} \cdot \vec{v} \right) \\ \vec{p}' &= \gamma \left( \vec{p} + \dfrac{U_{elec} \vec{v}}{c^2} \right) + (\gamma-1)\vec{v} \times \left( \vec{v} \times \vec{p} \right) \, . \end{align}$$

Das heißt, für ein ruhendes Teilchen haben wir$\vec{p} = 0$und Einführung von Geschwindigkeit auf relativistisch sinnvolle Weise durch Wechsel in ein sich bewegendes Bezugssystem mit Geschwindigkeit$\vec{v}$,

$$\begin{align} U_{elec}' &= \gamma \, U_{elec} = \gamma \left( \frac{e^2}{2a} \right) = \gamma m_e' c^2 \\[8pt] \vec{p}' &= \gamma \left( \dfrac{U_{elec}}{c^2} \right) \vec{v} = \gamma \left( \frac{e^2}{2ac^2} \right) \vec{v} = \gamma m_e' \vec{v} \, , \end{align}$$

wo jetzt, siehe da, alles passt und es absolut keine gibt$\frac{4}{3}$Paradox. Es ging nur darum, sich korrekt zwischen Referenzrahmen zu bewegen.

Was meinte Feynman?

Als einer der brillantesten Physiker der Geschichte würde Richard Feynman SR niemals so missbrauchen, wie es notwendig ist, um zu dem zu gelangen$\frac{4}{3}$Paradox. Tatsächlich taten Abraham und Lorentz, die Entdecker, dies nur, weil sie nicht wirklich wussten, wie man zwischen Referenzrahmen transformiert, da SR zu diesem Zeitpunkt noch nicht fertig war. Lassen Sie uns dann zitieren, was Feynman wirklich gesagt hat:

Mit den Ideen der Maxwellschen Theorie sind Schwierigkeiten verbunden, die von der Quantenmechanik nicht gelöst werden und nicht direkt damit verbunden sind. Sie können sagen: „Vielleicht ist es sinnlos, sich über diese Schwierigkeiten Sorgen zu machen. Da die Quantenmechanik die Gesetze der Elektrodynamik ändern wird, sollten wir abwarten, welche Schwierigkeiten es nach der Modifikation gibt.“ Wenn jedoch der Elektromagnetismus mit der Quantenmechanik verbunden wird, bleiben die Schwierigkeiten bestehen.

In der Tat, die$\frac{4}{3}$Dieses Problem wird nicht durch Quantenmechanik (QM) gelöst, sondern durch den sorgfältigen Einsatz von SR. Abraham und Lorentz verwendet$(*)$und$(**)$wahllos, weil sie nicht wussten, dass sich bewegende Elektronen laut SR zu Ellipsoiden verformt werden. Der schöne Artikel von Rohrlich , dessen Zusammenfassung diese Antwort ist, zeigt, dass der Fehler bei der Vernachlässigung der Deformation des Elektrons genau gleich ist$-\frac{1}{3} m_e' c^2$, was ihr Ergebnis korrigieren und auch die loswerden würde$\frac{4}{3}$Problem. Ich glaube, Feynman sprach von anderen Problemen, die von der klassischen zur Quantenelektrodynamik (QED) wandern, nicht von diesem scheinbaren Paradoxon. Das Problem der Selbstenergie erfordert zum Beispiel, dass das Elektron in der QED entweder eine eher nicht intuitive interne Struktur hat oder mit Dingen mit negativer Masse interagiert, sonst würde es explodieren (abgesehen von der Renormalisierung). Dieses Problem wandert aus der klassischen Elektrodynamik fälschlicherweise in die Postulation einer „Poincaré-Spannung“ ein, die das Elektron nicht nur stabilisieren, sondern auch korrigieren würde$\frac{1}{3}$Faktor fehlt in der$\frac{4}{3}$Problem. Glücklicherweise halfen viele Physiker dabei, das Problem der elektronischen Stabilität von der zu trennen$\frac{4}{3}$Problem, was nicht wirklich ein Problem ist, da es in QED nicht wirklich auftaucht. Das Problem der inneren Struktur des Elektrons ist jedoch ziemlich real.

In der modernen Sichtweise der Quantenfeldtheorie ist die$4/3$Problem sowie damit verbundene Fragen zu Punktgebühren sind Fragen der Regularisierung.

Das Problem ist, dass Sie es mit einer singulären Größe zu tun haben wollen, nämlich der Energie und dem Impuls einer idealen Punktladung, aber es ist unmöglich, etwas Bestimmtes zu sagen, weil alle diese Größen divergieren. Um eine endliche Antwort zu erhalten, modifizieren Sie das System, indem Sie es auf irgendeine Weise regulieren, sodass die Antworten endlich herauskommen. Im Allgemeinen kann und wird die Regularisierung Symmetrien brechen, und wir versuchen im Allgemeinen unser Bestes, um ein Regularisierungsschema zu wählen, das die Symmetrien bewahrt, die uns am wichtigsten sind.

Der philosophische Grund dafür ist, dass wir wissen, dass unsere Theorien nur bis zu einer bestimmten Grenzskala gültig sind$\Lambda$, über der neue Phänomene auftreten. Unterhalb des Grenzwerts können die Auswirkungen dieser neuen Phänomene in Form einer effektiven Lagrange-Funktion parametrisiert werden. Daher können wir die gleichen Niederenergievorhersagen in jedem Regularisierungsschema erhalten, das den gleichen effektiven Lagrange ergibt, selbst wenn diese Schemata eine dramatisch unterschiedliche Physik über die Grenzskala bringen.

In diesem Fall regularisiert Feynman die klassische Theorie, indem er die Feldintegrale bei abschneidet$\Lambda \sim 1/a$. Leider bewahrt dieses Regularisierungsschema die Lorentz-Invarianz nicht, und außerdem wird die Lorentz-Invarianz nicht einmal in der Kontinuumsgrenze wiederhergestellt$\Lambda \to \infty$. Das ist keine Seltenheit. Auch die Gitter-QCD muss sich mit diesem Problem befassen, da eine Gitterregularisierung die Lorentz-Invarianz eindeutig bricht.

Der Grund, warum Gitter-QCD in der RG-Sprache trotzdem funktioniert, ist, dass ihre Systeme so konstruiert sind, dass nur zusätzliche irrelevante Operatoren erzeugt werden können, deren Effekte in der Kontinuumsgrenze verschwinden$a \to 0$. Intuitiv besteht das Problem mit Feynmans Regularisierung darin, dass sie zusätzliche relevante Operatoren zulässt, die die effektive Lagrange-Funktion auf jeden Fall durcheinander bringen$a$ist, obwohl diese Sprache nicht exakt ist, da Feynman sich nicht mit einer Quantenfeldtheorie befasst.

Die moderne Auflösung des$4/3$Problem in der Quantenfeldtheorie ist im Wesentlichen per Befehl. Eine nicht regulierte Theorie ist schlecht definiert; wir können nicht von unregulierter QED sprechen, weil eine solche Theorie nicht einmal existiert. Stattdessen müssen wir von Anfang an eine Regulierungsbehörde im Auge behalten. Da wir wissen, dass die Lorentz-Invarianz eine Symmetrie unserer Welt ist, wählen wir einen Regulator, der die Lorentz-Invarianz in der Kontinuumsgrenze wiederherstellt.

Neben H. Poincaré war E. Fermi der erste Physiker, der eine korrekte relativistische "Ableitung" durchführte.

Hier möchte ich mich auf den physikalischen Effekt der berühmten Selbstaktion konzentrieren: Es ist einfach eine Selbstinduktion, die jeder Beschleunigung (Zeitänderung eines konstanten Stroms) "verlangsamt" oder "widersteht". Anscheinend ist es kein gewünschter Effekt - es ist überhaupt kein kleiner Strahlungswiderstand, unabhängig von der Größe des Elektrons.

Beachten Sie, dass sich die EMF gut mit dem Elektron "bewegt" - gemäß der Maxwell-Gleichung, sodass sie in den (mechanischen) Elektronengleichungen nicht "erneut" berücksichtigt werden muss. Der Strahlungswiderstand muss eher aus unterschiedlichen physikalischen Vorstellungen erraten werden als aus „Eigenaktion“.

In der QED bleibt dieses Problem bestehen und wird "gelöst", indem die (falschen) Gleichungslösungen modifiziert werden, anstatt die falschen Gleichungen zu modifizieren.

Meine Forschungsergebnisse befinden sich noch in einem embryonalen Stadium, aber ich gehe von einer anderen physikalischen Idee aus, die den Strahlungswiderstand gut einfängt.

In Bezug auf das in Band II, Kapitel 28 der Feynman Lectures on Physics beschriebene Problem besteht der 4/3-Problemgrund darin, dass einer der Terme, die die Bewegung des Teilchens beeinflussen, nicht berücksichtigt wird. Dieser Begriff ist die Zerstörung der Feldenergie an der Vorderseite der geladenen Kugel und ihre Erzeugung an der Rückseite. Während sich die Gesamtfeldenergie nicht ändert, können Sie, wenn Sie die Energie lokal auswerten, sehen, dass der v·E-Term vorne bedeutet, dass die Energie vom Feld zum Teilchen gebracht wird, und hinten das Gegenteil passiert, da dies ständig geschieht, kommt seine Wirkung einer Rückwärtsbewegung gleich. Wenn Sie es zu der normalen Bewegung hinzufügen, die durch den Impuls verursacht wird, stellen Sie fest, dass Sie eine Masse m_e = (1/2)e^2/a benötigen, und es gibt keine Inkonsistenzen mehr.

Ich habe hier ein kleines Dokument zum Thema eingestellt: https://www.slideshare.net/SergioPL81/adding-a-shift-term-to-solve-the-43-problem-in-classical-electrodinamics