Die Divergenz in der QCD-Serie – wie viele sind es und was bedeuten sie?

Lassen Sie mich mit QED beginnen. Ich werde mich anschließend mit QCD verbinden. Es gibt 4 Arten von Abweichungen in der QED:

1. Ultraviolette Divergenzen. Naive Berechnungen hängen so von der Grenzfrequenz ab, dass sie wie die Grenzfrequenz ins Unendliche gehen. QED ist jedoch eine perturbativ renormierbare Theorie, so dass nicht naive, gut gemachte Berechnungen (siehe Regularisierung und Renormierung ) vernünftige Ergebnisse liefern.

2. Landauer Pol . Die Kopplungskonstante$\alpha={e^2\over \hbar \, c}$, der Expansionsparameter in der Störungsreihe, wächst mit der Energie und geht für einen endlichen Energiewert ins Unendliche. Es stellt sich heraus, dass dieser endliche Energiewert größer ist als die elektroschwache Skala, wo QED mit der schwachen Wechselwirkung verschmilzt und QED keine gute Naturtheorie mehr ist. Daher ist es kein echtes (phänomenologisches) Problem.

3. Infrarot-Divergenzen . Diese sind darauf zurückzuführen, dass Photonen masselos sind. Sie heben sich jedoch auf, sobald man alle Effekte berücksichtigt, die zu einer messbaren Observable beitragen.

4. Nicht konvergente Reihe. Das$n$-ten Term der Störungsentwicklung hat die Form$\left({\alpha\over 2\pi}\right)^{n}\, (2n-1)!!$, sodass die Reihe wegen des Faktors nicht konvergiert, sondern asymptotisch ist$(2n-1)!!$wächst sehr schnell für große Werte von$n$. Das bedeutet, dass wir keine störungsfreie Definition der QFT geben können, indem wir alle Terme der Reihe zusammenfassen. Die ersten Terme sind jedoch aussagekräftig und liefern tatsächlich Vorhersagen, die genau mit den Beobachtungen übereinstimmen. Die 'ersten Terme' sind ungefähr$n\sim {\pi\over \alpha}\sim 430$. Und für diesen Wert von$n$,$\left({\alpha\over 2\pi}\right)^{n}\, (2n-1)!!\sim 10^{-187}$. Daher, solange wir nicht an einer Genauigkeit von einem Teil interessiert sind$10^{187}$, das ist auch kein wirkliches Problem. Beachten Sie, dass QED die mit größter Präzision bestätigte Naturtheorie ist – ein Teil davon$10^{9}$im anomalen magnetischen Dipol des Elektrons, wofür$n=4$.

Für QCD sind die Punkte 1, 3 und 4 mehr oder weniger gleich. Punkt 2 trifft jedoch nicht zu, da in QCD die Kopplungskonstante$\alpha_s$mit zunehmender Energie niedriger wird, und tatsächlich geht sie auf Null, wenn die Energie ins Unendliche geht. Siehe asymptotische Freiheit .

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Infrarot-Divergenzen darauf zurückzuführen sind, dass Effekte nicht berücksichtigt werden, die zur beobachtbaren Größe beitragen. Die asymptotische Natur der QFT-Störentwicklungen verhindert eine nicht-perturvative (exakte) Definition der Theorie (durch ihre Reihen), bringt aber kein praktisches Problem mit sich, wenn Vorhersagen mit Messungen verglichen werden. Das Fehlen von störenden Divergenzen und Landau-ähnlichen Polen ist eine notwendige Bedingung für eine gut definierte Theorie bei beliebig hohen Energien. Theorien, die diese Divergenzen enthalten (ultraviolette oder Landau-ähnliche Pole), können jedoch bei Energien über einem gewissen Maßstab immer noch sehr nützlich sein. Andererseits müssen Theorien ohne diese Divergenzen (Ultraviolett- oder Landau-ähnliche Pole), wie QCD, nicht für alle Energien als Naturtheorien gelten.

Wie M. Brown in den Kommentaren betont, gibt es eine Beziehung zwischen Instantonen und Renormalonen und der asymptotischen Natur von Reihen. Bitte beachten Sie diese Hinweise und die Fragen Instantons und Non-Perturbative Amplitudes in Gravity and Asymptoticity of Pertubative Expansion of QFT

Antwort auf Gravitons Kommentar: Meiner Meinung nach sollte eine grundlegende Theorie der Natur (was auch immer sie bedeutet) eine nicht störungsfreie Definition haben. Wenn die Störungserweiterung nicht konvergent ist, kann sie diese nicht-störungsfreie Definition nicht liefern. Dies bedeutet jedoch im Prinzip nicht unbedingt, dass die Theorie keine störungsfreie Definition oder exakte Lösung haben kann, sondern dies muss auf andere Weise gegeben sein.