Warum sollte der erhaltene Strom keine Renormierung benötigen?

Dies ist ein langer Kommentar, in dem ich die Punkte von Collins in @ HansMolemans Quelle (Teil von Abschnitt 6.6 des Buches) zusammenfasse, aber ich bin kein Experte auf diesem Gebiet.

Gegeben ein Grundstrom$j^\mu_b$, beide$[j^\mu_b]$und der konservierte Strom der nicht normalisierten Lagrange-Funktion$j^\mu$füge minimale Subtraktions-Gegenterme hinzu$j^\mu_b$. Seit$\varepsilon^\mu:=j^\mu-[j^\mu_b]$ist die Differenz zweier Lösungen der Ward-Identität,$\partial_\mu\langle 0|T\varepsilon^\mu (x)X|0\rangle=0$. Die Frage ist ob$\partial_\mu\varepsilon^\mu=0$hält aus der Schale. Wenn das nur oberflächlich wahr wäre,$\partial_\mu\langle 0|T\varepsilon^\mu (x)X|0\rangle$wäre ein Nicht-Null-Term der gleichen Massendimension wie$j^\mu_b$(oder$j^\mu$, oder$[j^\mu_b]$), also muss man überlegen, welche Terme dieser Dimension die Theorie konstruieren kann. Beispiele beinhalten:

• $\partial_\nu F^{\mu\nu}$;
• in einem$4D$nicht-abelsche Theorie,$\varepsilon_{\kappa\lambda\mu\nu}\partial^\kappa (A_a^\lambda A_b^\nu)$(was angesichts des Levi-Civita-Symbols auf eine chirale Symmetrie hinweist und von Collins erst in Kapitel 12 vollständig behandelt wird);
• und weil wir diese Analyse erweitern können$2$-dimensionale "Ströme",$(\partial_\mu\partial_\nu-g_{\mu\nu}\square)\phi^2$ist ein Gegenbegriff in$T_{\mu\nu}$.

In einigen Fällen können keine solchen Begriffe konstruiert werden, so$\partial_\mu\varepsilon^\mu=0$. Collins listet Fälle auf, in denen das Ergebnis fehlschlagen kann:

• Raum-Zeit-Symmetrien - hierfür empfiehlt er die Quellen Callan, Coleman & Jackiw (1970), Freedman, Muzinich & Weinberg (1974), Collins (1976), Brown & Collins (1980) und Joglekar (1976);
• Nicht erhaltene Ströme mit Abbruchterm der Dimension$\ge$die der Lagrange-Dichte;
• Nichtlineare Transformationen;
• Eichtheorien, wenn eine geeignete Verallgemeinerung fehlschlägt (dies wird wiederum ausführlich in seinem Kapitel 12 behandelt).

Ich kann keine Diskussion darüber finden$Q_7$in dem Buch, aber wenn man bedenkt, dass er den Rest von Kapitel 6 damit verbringt, die Massenrenormierung eines Skalarfelds zu studieren, sollten Sie normalerweise damit rechnen, dass die Renormierung eine Menge Berechnungen erfordert, die manchmal zeigen, dass sich "nichts ändert". (Zum Beispiel könnte eine geeignete Verallgemeinerung des Obigen in einer Eichtheorie gelingen.) In solchen Fällen kann man sich bemühen, zusammenzufassen, warum sich nichts ändert, aber dies kann verwirrend sein, wenn die Quelle es dort belässt, anstatt es dienen zu lassen als Vorwort zu einer vollständigen Demonstration.