Ladungsrenormalisierung und Photonenpropagator

Es gibt eine Ward-Identität, die die Ladungsrenormierung mit der Renormierung der Wellenfunktion des Photons verknüpft. Stationsidentitäten sind Beziehungen zwischen Korrelationsfunktionen, die sich aus der Quantentheorie mit einer Symmetrie ergeben. In diesem Fall bezieht sich die Eichinvarianz der QED (unter anderem) auf die Zweipunktfunktion des Elektrons (Propagator).$eA\bar{e}$Dreipunktscheitel.

Schreiben wir den Lagrangian einschließlich willkürlicher Skalierungen für aus$A$Und$\psi$und ich habe auch eine Konstante eingegeben$Z_e$die Ladung skalieren lassen

$Z_1,Z_2$Und$Z_e$werden alle durch Renormalisierung fixiert, um die divergierenden Teile der Schleifenintegrale aufzuheben.

Das sagt die Stationsidentität$Z_2=\sqrt{Z_1}Z_2 Z_e$, oder anders gesagt

Seit$Z_1$wie ich es definiert habe, führt es zu einem Rückstand$1/\sqrt{Z_1}$im Photonenpropagator entspricht dies der Gleichung, die Sie oben geschrieben haben. (übrigens dieser Faktor von$1/\sqrt{Z_1}$wird auf allen Photonenpropagatoren erscheinen, nicht nur auf denen auf der Shell).

Beachten Sie, dass ich als Folge der Gemeindeidentität die letzten beiden Terme im Lagrange als umschreiben kann

Die rechte Seite ist die kovariante Ableitung der Eichung.

Also, wenn Sie sich anpassen$Z_1$Um die Norm des Photonenpropagators auf 1 festzulegen (um der LSZ-Formel zu entsprechen usw.), müssen Sie auch die elektrische Ladung um einen geeigneten Betrag anpassen. Alternativ könnten Sie gehen und die berechnen$eA\bar{e}$Dreipunktfunktion (unter Verwendung eines Reglers, der die Messinvarianz beibehält, wie z. B. dim reg), und Sie würden feststellen, dass Sie sie um diesen Betrag renormieren müssten (was einer der Stationsidentität bei 1-Schleife entspricht).

Bonuskommentar: Die Konstante$Z_1$Was im Lagrangian erscheint, ist eine "Wellenfunktions-Renormalisierung", es ist nur eine Neuskalierung des Feldes$A$von$A\rightarrow \sqrt{Z_1} A$. Woher wissen wir, was der richtige Wert für ist$Z_1$Ist? Es ist eine Konvention, und die Konvention wird durch die LSZ-Formel festgelegt. Die LSZ-Formel sagt Ihnen, wie man Observablen berechnet, und sie basiert auf einer Konvention, bei der der Photonenpropagator den Rest 1 hat. Wenn es also keine Quantenkorrekturen gäbe, würden wir setzen$Z_1=1$. Schleifen korrigieren die Aktion, also müssen wir einen Wert von auswählen$Z_1$um die Schleifenbeiträge abzubrechen. Die Summe$Z$,$Z=Z_1+Z_{loops}$, wird am Ende gleich 1 sein, aber wir wählen$Z_1$um die Schleifenbeiträge aufzuheben. Wir verwenden jedoch$Z_1$in unserer Definition der Theorie des freien Photons, um die herum wir stören, und deshalb müssen wir verwenden$Z_1$konsequent jedes Mal, wenn wir einen Photonenpropagator verwenden. (Es gibt tatsächlich viele Konventionen dafür, wo genau Sie Dinge platzieren, dies ist nur eine Art, sich das vorzustellen.) Machen Sie sich jedoch Gedanken über das Platzieren von Faktoren$Z_1$auf Photonenpropagatoren (oder die Wahl einer Konvention, bei der Sie diese Faktoren woanders platzieren) wird nur dann wirklich wichtig, wenn Sie höhere Schleifen ausführen, weil$Z_1-1$ist schon$O(\hbar)$. Auf Ihrer Ebene ist der wichtigste Punkt zu erkennen, was konzeptionell vor sich geht: das$Z_1$in der Aktion setzt die Größe ALLER Photonenpropagatoren (weil es wirklich die Gesamtnormalisierung des Photonenfeldes ist). Wir verwenden die LSZ-Formel, um die Normalisierung zu fixieren, aber das fixiert die Normalisierung für alle Propagatoren, nicht nur für die externen.