Aharonov-Bohm-Effekt und Flussquantisierung in Supraleitern

Laut Wigner kann die Wellenfunktion eines Quantenteilchens mehrwertig sein, dh um eine geschlossene Schleife herum eine nichttriviale Phase annehmen. Eine Phase ist nicht trivial, wenn sie nicht mit einer Eichtransformation von entfernt werden kann$e^{i \alpha(\theta)}$, mit einer wahren Funktion$\alpha$, dh,$\alpha(2\pi) = \alpha(0)$. Die Wellenfunktionen mit dieser Eigenschaft sind Abschnitte nichttrivialer Linienbündel über der Konfigurationsmannigfaltigkeit.

Der Grund, warum eine Wellenfunktion keine wahre Funktion sein muss, liegt darin, dass ihre Gesamtphase und -größe nicht physikalisch sind, wenn man Quantenerwartungen definiert als:

Solche Wellenfunktionen entstehen, wenn die Konfigurationsmannigfaltigkeit nicht einfach mit einer nichttrivialen Kohomologiegruppe verbunden wird$\mathcal{H}^{1}(M,\mathbb{R})$(Dies ist der Fall des Kreises). In diesem Fall existieren Vektorpotentiale auf der Mannigfaltigkeit, die nicht die Gradienten einer echten Funktion auf der Mannigfaltigkeit sind.$A \ne d\alpha(\theta)$. mit,$\alpha(2\pi) =\alpha(0)$. Es besteht jedoch keine Notwendigkeit, den Fluss zu quantisieren, da die Wellenfunktion keine echte Funktion auf der Konfigurationsmannigfaltigkeit sein muss. Im Gegensatz dazu wäre, wenn der Fluss quantisiert worden wäre, kein Aharonov-Bohm-Effekt nicht beobachtet worden. Eine Quantisierungsbedingung tritt auf, wenn$\mathcal{H}^{2}(M,\mathbb{R})$(Die Dirac-Quantisierungsbedingung), aber dies ist der Fall, wenn sich ein Teilchen eher auf einer Kugel als auf einem Kreis bewegt.

Dies ist jedoch bei der Supraleitung nicht der Fall. Der Unterschied zwischen den beiden Situationen liegt darin, dass die "makroskopische Wellenfunktion" eines Supraleiters keine "Wellenfunktion" ist. dh es ist nicht die Koordinatendarstellung eines Zustandsvektors in einem Hilbert-Raum. Es ist ein Quantenfeld, das Goldstone-Bosonen (Cooper-Paar) der supraleitenden Phase (normalerweise als Ordnungsparameter bezeichnet) beschreibt. Der Betrag der makroskopischen Wellenfunktion$\left|\Psi \left( \theta \right) \right|^2$beschreibt den Zahlendichteoperator der Goldstone-Bosonen. Seine zwei Punktfunktionen beschreiben die (langreichweitigen) Korrelationen. Dieses Quantenfeld koppelt minimal an Elektromagnetismus, und das ist der Grund, warum seine Bewegungsgleichung der Schrödinger-Gleichung eines an Elektromagnetismus gekoppelten Teilchens ähnlich ist. Aber der Hauptunterschied dieses Feldes ist ein echtes Skalarfeld und kein Abschnitt eines Linienbündels. Dies gibt uns den Grund, warum die Phase, die es in einer vollständigen Schleife erfasst, verschwinden sollte, da sonst beispielsweise seine Korrelationsfunktionen davon abhängen würden, wie oft der Kreis gewickelt wurde.

Ich füge nur die Antwort von @Xcheckr hinzu, die meiner Meinung nach am richtigsten ist: Quantenfelder sind immer einwertig. Bei einem Supraleiter ist es energetisch günstig, den kinetischen Term zu minimieren$|D_A\psi|^2$, wo$\psi$ist der supraleitende Ordnungsparameter.$D_A\psi=0$impliziert, dass die Phase von$\psi$wird durch Paralleltransport durch Potenzierung ermittelt$iq\int A$, und dies zusammen mit der Eindeutigkeit von$\psi$erzwingt die Flussquantisierung.

Bei einem AB-Effekt-Setup hingegen gibt es keinen energetischen Grund zum Einstellen$D_A\psi=0$, und so die Phase von$\psi(x)$wird nicht bestimmt durch$\exp(iq\int A)$. Dies bedeutet, dass für einen generischen Wert des Flusses die Größe$|\psi|$wird nicht konstant sein (z. B. wird es irgendwann durch Null gehen), woher die Interferenz im AB-Effekt kommt. In einem Supraleiter$|\psi|$muss aus energetischen Gründen konstant sein, weshalb der Fluss in einem SC quantisiert wird.

Obwohl beide Antworten in gewissem Sinne richtig sind, hat der wahre Grund mit energetischen Überlegungen zu tun. Es geht darum, was stärker ist, und kann als folgende Frage formuliert werden: Wird sich die Wellenfunktion ändern, um sich dem Fluss anzupassen, oder wird sich der Fluss selbst quantisieren, weil die Wellenfunktion versucht, einwertig zu bleiben?

Als Beispiel dafür, was ich meine: Der Fluss ist im supraleitenden Fall bis zu einem Punkt quantisiert. Man kann den Fluss innerhalb des supraleitenden Rings hochfahren, bis die Supraleitung zerstört ist (obwohl das Magnetfeld selbst nicht in Kontakt mit dem Supraleiter ist). Dies geschieht ausschließlich deshalb, weil das supraleitende Kondensat nicht genug Energie hat, um den Fluss bei großen Werten des Flusses quantisiert zu halten.

Weil der Supraleiter gewissermaßen als makroskopische Wellenfunktion mit viel Energie betrachtet werden kann, ist der Fluss im Fall der Supraleitung quantisiert. Im Aharonov-Bohm-Fall haben wir ein einzelnes Elektron (oder einen Strahl inkohärenter Elektronen), das nicht genug Energie hat, um den Fluss zu verändern.

Der ganze Aharonov-Bohm-Effekt – eine nicht triviale Phase – ist eigentlich auf nichts anderes als eine Abweichung von der Flussquantisierungsregel zurückzuführen. Der Winkel, den wir messen können, ist die Verschiebung des Interferenzmusters im Aharonov-Bohm-Effekt

So lautet die herkömmliche Flussquantisierungsregel$\Delta \phi = 2\pi k$Pro$k\in{\mathbb Z}$was nichts anderes bedeutet als "der Elektromagnet verhält sich genauso, als gäbe es keinen Elektromagneten".

So leiten wir überhaupt die Flussquantisierung ab. Die magnetischen Monopole zum Beispiel (eine wichtige dritte Situation, die ich hinzufügen möchte, wo die Flussquantisierung diskutiert werden muss) müssen der Dirac-Quantisierungsregel gehorchen, die der Flussquantisierungsregel für den Fluss durch die sie umgebende Oberfläche entspricht. Und sie müssen es genau für die Dirac-Saite befolgen – eine halbunendliche Linie, die vom magnetischen Monopol ausgeht, wo$\vec A$ist zwangsläufig singulär und das muss da sein${\rm div}\,\vec B\neq 0$mehr – unbeobachtbar sein. Der Dirac-Strang ist nichts anderes als ein Aharonov-Bohm-Solenoid, aber einer, von dem wir wissen, dass er nicht beobachtbar ist, weil dort drüben nichts ist, und wir wollten, dass die Position des Dirac-Strangs eine reine Konvention ist.

Beachten Sie, dass es einen Unterschied zwischen den oben genannten Oberflächen gibt. Die Flussquantisierung (die nicht gilt) im Aharonov-Bohm-Effekt zählt den Fluss durch einen offenen, scheibenförmigen Bereich; in der Dirac-Quantisierungsregel ist es eine geschlossene Oberfläche, eine Kugel um einen Monopol. Nur letzterer Fluss durch eine geschlossene Fläche muss quantisiert werden.

Nun, in Supraleitern wirken Elektronenpaare als Bosonen, die effektiv ein komplexes klassisches Skalarfeld erzeugen$\Psi$. Seine Ladung ist$2e$weil es aus Elektronenpaaren besteht. Nun, der Vakuumerwartungswert von$|\Psi|^2$ist eine Konstante ungleich Null, aber die Phase von$\Psi$ist willkürlich. Insbesondere, wenn Sie studieren, wie die Phase von$\Psi$Wenn Sie die Grenze eines Rings einkreisen, werden Sie feststellen, dass er in die ursprüngliche Phase zurückkehrt, aber möglicherweise "um Null herumwindet".$w$mal, eine gewundene Zahl und diese Ganzzahl$w$misst genau den magnetischen Fluss in den Einheiten des magnetischen Flusses des Supraleiters (d. h$1/2$mal dem minimalen magnetischen Monopol dual zum Elektron).

Diese Bedingung, dass „die Phase von$\Psi$muss zu sich selbst zurückkehren" ist mathematisch äquivalent zu dem, was wir in der Diskussion über die magnetische Monopol-Dirac-Quantisierung verwendet haben: Seine Phase ändert sich so stark wie in den beiden vorherigen Beispielen, als ein Elektron die Dirac-Saite (oder Solenoid) umkreiste. Ein Unterschied Nun muss einem Elektronenpaar erlaubt werden, den Ring friedlich zu umkreisen, ohne dass sich die Wellenfunktion ändert – denn es ist immer noch derselbe Zustand, also ändert sich die Phase doppelt so schnell und die erlaubte Flusseinheit ist$1/2$von dem, was es vorher war.

Im Fall des Supraleiters muss die Phase zu ihrem ursprünglichen Wert zurückkehren (nachdem das Elektronenpaar eine Rundreise um den Ring gemacht hat), da diese Situation der "Dirac-Saite" nahe kommt. Insbesondere fordern wir, dass es keinen beobachtbaren Effekt des Materials innerhalb der Scheibe gibt, einfach weil sich nichts – es gibt keinen Solenoid usw. – innerhalb des Rings befindet. Ähnlich wie bei der Dirac-Saite muss die Materie im Inneren des Rings unsichtbar sein – es gibt keine – was bedeutet, dass die Wellenfunktion nach einer 360-Grad-Drehung durch das Elektronenpaar auf ihren ursprünglichen Wert zurückkehren muss.

Zusammenfassung

Man könnte diese drei Situationen einfach als völlig unterschiedliche Situationen abtun, aber die Schlüsselmathematik ist in den drei Situationen immer noch analog, mit einigen Unterschieden:

• die Dirac-Saite oder das Innere des supraleitenden Rings müssen sich so verhalten, als ob nichts wäre, also müssen die Wellenfunktionen zu sich selbst zurückkehren und daher die Quantisierungsregel auferlegen; Es ist wichtig, die offene/geschlossene Topologie der Oberflächen zu unterscheiden, über die die Flüsse gemessen werden
• Das Aharonov-Bohm-Solenoid enthält Zeug, daher gibt es keinen gültigen Beweis dafür, dass das Solenoid für die um es herum laufenden Elektronen unsichtbar sein muss, und tatsächlich darf sich sein Interferenzmuster dadurch verschieben
• man muss auf die unterschiedlichen Elementarladungen achten,$e$(oder$e/3$wenn Quarks enthalten sind) im Dirac-String und / oder dem Aharonov-Bohm-Solenoid und$2e$im supraleitenden Fall