Wie leitet man das Ergebnis des Aharonov-Bohm-Effekts ab?

Zuerst werde ich einstellen$e=1$der Einfachheit halber.

Lassen$\psi_0$bezeichnen die Wellenfunktion, die die freie Schrödinger-Gleichung erfüllt:

$$\begin{equation} i \frac{\partial \psi_0}{\partial t} = -\frac{1}{2m}\mathbf{\nabla}^2 \psi_0 + V \psi_0 \tag{1} \end{equation}$$ Außerdem lassen $\psi$sei die Wellenfunktion, die der Schrödinger-Gleichung für ein nicht verschwindendes Vektorpotential gehorcht $\mathbf{A}$: $$\begin{equation} i \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{1}{2m}(\mathbf{\nabla}-i\mathbf{A})^2 \psi+ V \psi \tag{2} \end{equation}$$ Schreiben wir jetzt: $$\begin{equation} \psi=\exp \left( i \int_{\gamma} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right)\psi_0 \end{equation}$$ Wo $\gamma$ist ein Pfad von einem beliebigen Punkt $\mathbf{x}_0$zu einem anderen Punkt $\mathbf{x}_1$. Wir können dann schreiben: $$\begin{equation} \left( \mathbf{\nabla} -i \mathbf{A} \right)^2 \psi = \exp \left( i \int_{\gamma} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right) \mathbf{\nabla}^2 \psi_0 \end{equation}$$ Setzen Sie diesen Ausdruck in die Gleichung ein $(2)$gibt gleichung $(1)$. Dies impliziert, dass die Wellenfunktion eines elektrisch geladenen Teilchens, das durch den Raum wandert, wo $\mathbf{A} \neq 0$erhält eine zusätzliche Phase.

Wir wissen, dass die Wellenfunktion an dem Punkt$Q$(siehe Abbildung unten) ist ein Ergebnis der Quantensuperposition, dh wir können schreiben:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \begin{split} \psi_{\scriptscriptstyle Q} & = \psi(\mathbf{x},\gamma_1) + \psi(\mathbf{x},\gamma_2) \\& = \exp \left( i \int_{\gamma_1} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right)\psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_1) + \exp \left( i \int_{\gamma_2} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right)\psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_2) \\& = \exp \left( i \int_{\gamma_2} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right) \left( \exp \left( i \int_{\gamma_1} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} - i \int_{\gamma_2} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right)\psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_1) + \psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_2) \right) \end{split} \end{aligned} \end{equation}$$ Wir können den Satz von Stoke auf den ersten Term innerhalb der Klammern anwenden, weil $\gamma_1-\gamma_2$ist ein geschlossener Pfad: $$\begin{equation} \int_{\gamma_1} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} - \int_{\gamma_2} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} = \int \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = F \end{equation}$$ Wo $F$ist der gesamte magnetische Fluss aufgrund des Solenoids durch eine Oberfläche, die durch die geschlossene Begrenzung definiert ist $\gamma_2-\gamma_1$. Die Wellenfunktion bei $Q$kann nun geschrieben werden als: $$\begin{equation} \psi_{\scriptscriptstyle Q} = \exp \left( i \int_{\gamma_2} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \right) \left( \exp \left( i F \right)\psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_1) + \psi_{0}(\mathbf{x},\gamma_2) \right) \end{equation}$$ Dies zeigt, dass die relative Phasendifferenz und damit das Interferenzmuster vom magnetischen Fluss durch die Magnetspule abhängig ist. Dies ist der Aharonov-Bohm-Effekt.

Um das Problem zu vereinfachen, können wir den Term der potentiellen Energie vernachlässigen$V(r)$, da es für unsere Ableitung einfach irrelevant ist. Also schreiben wir den Hamiltonoperator als

$$H=\frac{1}{2}(-i\partial_x-A)^2.$$ Der Grundzustand ist durch Minimierung der Energie gegeben. Da der Hamilton-Operator ein Quadrat von ist $(-i\partial_x-A)$, also wird es minimiert, wenn $(-i\partial_x-A)=0$. Was bedeutet, dass wir ungefähr den Grundzustand haben $$(-i\partial_x-A)\psi=0.$$ Wenn uns nur die Phasenkonfiguration der Wellenfunktion interessiert, können wir schreiben $\psi\sim e^{i\phi}$, und in die obige Gleichung einsetzen, $$(\partial_x\phi -A)e^{i\phi}=0,$$ was bedeutet $\partial_x\phi=A$, und seine Lösung ist $\phi=\int A \cdot\mathrm{d}x$.