Befolgt die Antwortfunktion der zufälligen Phasennäherung (RPA) die Kramers-Kronig-Beziehungen?

Question

Befolgt die Antwortfunktion der zufälligen Phasennäherung (RPA) die Kramers-Kronig-Beziehungen?

Alexej Sokolik

Betrachten Sie die abgeschirmte Coulomb-Wechselwirkung in Elektronenflüssigkeit, die in der zufälligen Phasennäherung (RPA) die Form annimmt

v (Q, ω) = \frac{v (Q)}{1 - v (Q) Π (Q, ω)},

$V(q,\omega)=\frac{v(q)}{1-v(q)\Pi(q,\omega)},$ Wo

v (q)

$v(q)$ ist die ungeschirmte Coulomb-Wechselwirkung,

Π (q, ω)

$\Pi(q,\omega)$ ist die Elektronengas-Polarisierbarkeit.

Es ist die genaue abgeschirmte Wechselwirkung bekannt $V_\mathrm{exact}(q,\omega)$ gehorcht den Kramers-Kronig-Beziehungen

R e v_{e X A C T} (Q, ω) = v (Q) - \frac{1}{π} P \int D ω^{'} \frac{ICH M v_{e X A C T} (Q, ω^{'})}{ω - ω^{'}},

$\mathrm{Re}\,V_\mathrm{exact}(q,\omega)=v(q)-\frac1\pi\mathcal{P}\int d\omega'\frac{\mathrm{Im}\,V_\mathrm{exact}(q,\omega')}{\omega-\omega'},$

ICH M v_{e X A C T} (Q, ω) = \frac{1}{π} P \int D ω^{'} \frac{R e v_{e X A C T} (Q, ω^{'}) - v (Q)}{ω - ω^{'}} .

$\mathrm{Im}\,V_\mathrm{exact}(q,\omega)=\frac1\pi\mathcal{P}\int d\omega'\frac{\mathrm{Re}\,V_\mathrm{exact}(q,\omega')-v(q)}{\omega-\omega'}.$ Die Polarisierbarkeit

Π (q, ω)

$\Pi(q,\omega)$ , eine verzögerte Antwortfunktion, gehorcht ebenfalls ähnlichen Beziehungen (allerdings ohne

v (q)

$v(q)$ auf der rechten Seite).

Funktioniert die RPA-Interaktion $V(q,\omega)$ den Kramers-Kronig-Beziehungen gehorchen? Wenn ja, wie kann es nachgewiesen werden?

leongz

Ich bin mir nicht sicher, aber ich denke, die Antwort ist ja. Die RPA-Form ist im Grunde genommen eine Teilmenge der Feynman-Diagramme im genauen Fall. Jedes Feynman-Diagramm sollte die von Kramers-Kronig-Beziehungen geforderte Analytizität erfüllen.

Alexej Sokolik

@leongz Wir können beispielsweise die RPA-Reihe bis zur dritten Ordnung kürzen

V = v + v Π v + v Π v Π v

$V=v+v\Pi v+v\Pi v\Pi v$ (wobei wir tatsächlich eine Teilmenge von Feynman-Diagrammen nehmen) und dann erhalten wir die Pole zweiter Ordnung von

V

$V$ Wo

Π

$\Pi$ hat die erster Ordnung. Das Vorhandensein von Polen zweiter Ordnung wird wahrscheinlich die erforderlichen analytischen Eigenschaften ruinieren, nicht wahr?

leongz

Ich glaube nicht, dass die Reihenfolge der Pole in den Beziehungen zwischen Kramers und Kronig von Bedeutung ist. Siehe Ableitung im Wiki.

Antworten (1)

Befolgt die Antwortfunktion der zufälligen Phasennäherung (RPA) die Kramers-Kronig-Beziehungen?

Ich bin mir nicht sicher, aber ich denke, die Antwort ist ja. Die RPA-Form ist im Grunde genommen eine Teilmenge der Feynman-Diagramme im genauen Fall. Jedes Feynman-Diagramm sollte die von Kramers-Kronig-Beziehungen geforderte Analytizität erfüllen.
@leongz Wir können beispielsweise die RPA-Reihe bis zur dritten Ordnung kürzen $V=v+v\Pi v+v\Pi v\Pi v$ (wobei wir tatsächlich eine Teilmenge von Feynman-Diagrammen nehmen) und dann erhalten wir die Pole zweiter Ordnung von $V$ Wo $\Pi$ hat die erster Ordnung. Das Vorhandensein von Polen zweiter Ordnung wird wahrscheinlich die erforderlichen analytischen Eigenschaften ruinieren, nicht wahr?
Ich glaube nicht, dass die Reihenfolge der Pole in den Beziehungen zwischen Kramers und Kronig von Bedeutung ist. Siehe Ableitung im Wiki.

Everett Du · Answer 1

Ja. Die RPA-Antwortfunktion $V(\omega)$ gehorcht immer noch der Kramers-Kronig (KK)-Beziehung, solange die Polarisationsfunktion $\Pi(\omega)$ gehorcht der KK-Beziehung. Der entscheidende Punkt ist zu zeigen, dass alle Pole höherer Ordnung , die in der RPA-Erweiterung auftreten , unter Verwendung der KK-Beziehung von auf erste Ordnung reduziert werden können $\Pi(\omega)$ , so dass sie kein Problem verursachen.

Die KK-Beziehung der Polarisationsfunktion impliziert, dass wir ausdrücken können $\Pi(\omega)$ als

Π (ω) = \int \frac{D ω^{'}}{2 π} \frac{A_{Π} (ω^{'})}{ω - ω^{'} + ich 0_{+}},

$\Pi(\omega)=\int\frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}\frac{A_\Pi(\omega')}{\omega-\omega'+\mathrm{i}0_+},$ Wo

A_{Π} (ω) \equiv - 2 ℑ Π (ω)

$A_\Pi(\omega)\equiv -2\Im\Pi(\omega)$ ist die spektrale Funktion der Polarisation. Dann konzentrieren wir uns auf den Begriff

v Π (ω) v Π (ω) v

$v\Pi(\omega)v\Pi(\omega)v$ bei der RPA-Erweiterung. Wir wollen zeigen, dass seine Pole zweiter Ordnung tatsächlich durch Pole erster Ordnung aufgelöst werden können und daher unproblematisch sind. Um dies zu sehen, gehen wir von aus

\begin{aligned} Π (ω)^{2} & = \int \frac{D ω_{1}}{2 π} \frac{D ω_{2}}{2 π} \frac{A_{Π} (ω_{1})}{ω - ω_{1} + ich 0_{+}} \frac{A_{Π} (ω_{2})}{ω - ω_{2} + ich 0_{+}} \\ = \int \frac{D ω_{1}}{2 π} \frac{D ω_{2}}{2 π} (\frac{1}{ω - ω_{1} + ich 0_{+}} - \frac{1}{ω - ω_{2} + ich 0_{+}}) \frac{A_{Π} (ω_{1}) A_{Π} (ω_{2})}{ω_{1} - ω_{2}} \end{aligned} .

$\begin{split}\Pi(\omega)^2&=\int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\frac{\mathrm{d}\omega_2}{2\pi}\frac{A_\Pi(\omega_1)}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}0_+}\frac{A_\Pi(\omega_2)}{\omega-\omega_2+\mathrm{i}0_+}\\ &=\int\frac{\mathrm{d}\omega_1}{2\pi}\frac{\mathrm{d}\omega_2}{2\pi}\Big(\frac{1}{\omega-\omega_1+\mathrm{i}0_+}-\frac{1}{\omega-\omega_2+\mathrm{i}0_+}\Big)\frac{A_\Pi(\omega_1)A_\Pi(\omega_2)}{\omega_1-\omega_2}\end{split}.$ Dann können wir eine neue Spektralfunktion definieren

A_{Π}^{(2)} (ω) = 2 \int \frac{D ω^{'}}{2 π} \frac{A_{Π} (ω) A_{Π} (ω^{'})}{ω - ω^{'}} = 2 A_{Π} (ω) ℜ Π (ω) = - 4 ℑ Π (ω) ℜ Π (ω),

$A_\Pi^{(2)}(\omega)=2\int\frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}\frac{A_\Pi(\omega)A_\Pi(\omega')}{\omega-\omega'}=2A_\Pi(\omega)\Re\Pi(\omega)=-4\Im\Pi(\omega)\Re\Pi(\omega),$ was den Pol auflöst

(ω - ω^{'})^{- 1}

$(\omega-\omega')^{-1}$ im Integranten durch die KK-Beziehung von

Π (ω)

$\Pi(\omega)$ , wodurch die Gesamtordnung der Pole um eins reduziert wird. Die Spektralfunktion

A_{Π}^{(2)}

$A_\Pi^{(2)}$ wird so analytisch sein wie

Π (ω)

$\Pi(\omega)$ , was genau die Spektralfunktion von ist

Π (ω)^{2}

$\Pi(\omega)^2$ ohne Pole zweiter Ordnung:

Π (ω)^{2} = \int \frac{D ω^{'}}{2 π} \frac{A_{Π}^{(2)} (ω^{'})}{ω - ω^{'} + ich 0_{+}} .

$\Pi(\omega)^2=\int\frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}\frac{A^{(2)}_\Pi(\omega')}{\omega-\omega'+\mathrm{i}0_+}.$ Dem obigen Ansatz folgend ist es einfach zu zeigen, dass alle Terme höherer Ordnung in der RPA-Erweiterung die spektrale Auflösung der gleichen Form nur in Bezug auf die Pole erster Ordnung haben.

Π (ω)^{N} = \int \frac{D ω^{'}}{2 π} \frac{A_{Π}^{(N)} (ω^{'})}{ω - ω^{'} + ich 0_{+}} .

$\Pi(\omega)^n=\int\frac{\mathrm{d}\omega'}{2\pi}\frac{A^{(n)}_\Pi(\omega')}{\omega-\omega'+\mathrm{i}0_+}.$ Alle Spektralfunktionen höherer Ordnung

A_{Π}^{(n)} (ω)

$A_\Pi^{(n)}(\omega)$ kann als Polynom von ausgedrückt werden

ℜ Π (ω)

$\Re\Pi(\omega)$ Und

ℑ Π (ω)

$\Im\Pi(\omega)$ . Also solange

Π (ω)

$\Pi(\omega)$ der KK-Beziehung gehorcht, werden alle Terme in der RPA-Erweiterung auch der KK-Beziehung sowie der RPA-Antwortfunktion gehorchen

V (ω)

$V(\omega)$ .

Danke schön! Aber ich verstehe nicht, was Sie mit "Polen zweiter Ordnung durch Pole erster Ordnung auflösen" meinen. Zum Beispiel, wenn $A_\Pi(\omega)=(a/\pi)/[(\omega-\omega_0)^2+a^2]$ (Lorentzsche Spektralfunktion), dann $\Pi(\omega)=(1/2\pi)(\omega-\omega_0+ia)^{-1}$ , dh $\Pi(\omega)$ hat den Pol erster Ordnung bei $\omega=\omega_0-ia$ , was das Vorhandensein einer gedämpften Anregung bedeutet. Gleichzeitig, $\Pi(\omega)=(1/2\pi)^2(\omega-\omega_0+ia)^{-2}$ hat noch den Pol zweiter Ordnung an $\omega=\omega_0-ia$ , wie man sie entweder durch direktes Quadrieren von erhält $\Pi(\omega)$ oder über die Funktion $A_\Pi^{(2)}$ .

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