Wenn die Berry-Phase modulo 2π2π2\pi definiert ist, warum nicht dieselbe (Art von) Geschichte für die Chern-Zahl?

Ich folge hier den Anmerkungen zur Beerenphase und Chern-Zahl . In Abschnitt 3.2 argumentieren sie, dass die Chern-Zahl

was ein Integral über eine geschlossene Fläche ist$S$In$k$-Raum, kann in zwei Flächenintegrale zerlegt werden$(S_1,S_2)$verbunden durch eine geschlossene Kontur$C$. Sie verwenden jeweils ein Flächenelement mit entgegengesetzter Orientierung, so dass dies lautet

Weil die beiden Oberflächenintegrale nur die Berry-Phase der geschlossenen Schleife sind$C$und eine Berry-Phase ist Modulo 2 definiert$\pi$, schließen sie daraus, dass die Chern-Zahl ist

Wo$n_1$Und$n_2$sind die ganzen Zahlen, die aus den beiden Berry-Phasen stammen, berechnet aus den entsprechenden Oberflächen. Ok, also verstehe ich gerade die Argumentation, dass die Chern-Zahl in diesem Fall eine ganze Zahl ist, aber was ich nicht verstehe, ist, wie es eine Invariante ist. Sicherlich stammen diese beiden ganzen Zahlen aus einer willkürlichen Gauge-Auswahl der Basisfunktionen, sodass sie nach Belieben gewählt werden können, was bedeutet, dass die Chern-Zahl jede ganze Zahl sein kann. Ich weiß, dass dies nicht der Fall ist, aber ich sehe nicht, wie ich es aus der in diesen Notizen verfolgten Logik ableiten soll. Jegliche Erläuterungen werden dankbar entgegengenommen!