Zweite Chern-Klasse im 2D-Haldane-Modell aus dem Atiyah-Singer-Index-Theorem?

Ich las eine physikzentrierte Darstellung des Atiyah-Singer-Indexsatzes durch und fragte mich, was es bedeuten würde, über Haldanes Modell für den Fall einer Mannigfaltigkeit mit einer Grenze zu sprechen. Es ist bekannt, dass in diesem Fall die erste Chern-Zahl die topologische Invariante für die gesamte Brillouin-Zone beschreibt. Was passiert jedoch, wenn wir eine geschlossene adiabatische Schleife im Brillouin-Torus nehmen, der mit Haldanes Modell verbunden ist? Dann haben wir eine Mannigfaltigkeit mit einem Rand.

Ich könnte mich irren, aber nach meinem Verständnis deutet die verknüpfte Referenz in den Gleichungen 8.2 und 8.5 darauf hin, dass der Indexsatz von Atiyah-Singer impliziert, dass die zweite Chern-Klasse in diesem Fall beteiligt sein wird und dass wir immer noch eine quantisierte topologische Invariante haben werden.

Ich habe jedoch Probleme, mich damit auseinanderzusetzen, da Haldanes Modell ein 2D-System ist und andere Ressourcen ( wie zum Beispiel der oberste Absatz auf Seite 1630003-19 dieses Papiers ) implizieren, dass es nicht nützlich ist, es anzusehen die zweite Chern-Zahl in 2D. Was bedeutet dann diese topologische Invariante? Ist es nicht nutzlos, wenn es nicht anwendbar ist?

Offensichtlich gibt es eine Lücke in meinem Verständnis, daher würde ich es begrüßen, wenn mir jemand helfen könnte, zu sehen, was ich verpasst habe. Danke!

Referenz 1: Gravitation, Eichtheorien und Differentialgeometrie, von Eguchi, Gilkey & Hanson

Referenz 2: Hinweise zu topologischen Isolatoren, von R. Kaufmann & D. Li

Welche Mannigfaltigkeit hat eine Grenze? Raum?
@RyanThorngren by manifold, ich denke an den lokalen Bereich innerhalb der Schleife im Impulsraum (Brillouin-Torus). Die Schleife selbst wird die Grenze sein.
Aber was ist die physikalische Bedeutung von so etwas?
@RyanThorngren Ich versuche das herauszufinden. :'-)

Antworten (1)

Tatsächlich kann die zweite Chern-Klasse keine topologische Invariante in zwei Dimensionen sein. Diese Klasse wird durch einen Rang dargestellt 4 bilden sich auf glatten Mannigfaltigkeiten, daher können die zugehörigen topologischen Quantenzahlen nur durch Integration über erhalten werden 4 dimensionale Zyklen, die in diesem Fall nicht existieren. Der in der Frage erwähnte Indexsatz aus der Arbeit von Eguchi-Gilkey-Hanson ist ausdrücklich gegeben 4 dimensionale Mannigfaltigkeiten.

Die zweite Chern-Klasse steht jedoch indirekt mit der Klassifikation von Vektorbündeln in Verbindung 2 Dimensionssysteme wie folgt:

Zur Erinnerung: Vektorbündel über zweidimensionale Mannigfaltigkeiten werden mit Hilfe der ersten Chern-Klasse klassifiziert. Aber wenn das Bündel zeitumkehrinvariant ist (in diesem Fall verschwindet die erste Chern-Klasse), gibt es eine binäre Invariante: die Fu-Kane-Mele Z 2 Invariante, die zwischen Fällen unterscheidet, in denen die Berry-Phase immer ist 2 π (der triviale Fall), oder es kann den Wert von annehmen π (der nicht triviale Fall).

Eine Möglichkeit, die zu verstehen Z 2 Invariant ist es, höherdimensionale Systeme zu betrachten, aus denen unser zweidimensionales System durch Dimensionsreduktion erhalten werden kann. Die Dimensionsreduktion ist gemäß dem Kaluza-Klein- Paradigma zu verstehen, bei dem die zusätzlichen Dimensionen verdichtet werden und im Infrarot nur die Niedrigenergiemoden vorhanden sind, die entlang dieser Richtungen konstant sind.

Qi, Hughes und Zhang zeigten in einer wegweisenden Arbeit , dass a 2 + 1 dimensionales System mit nichttrivialem Z 2 Invariante kann durch Dimensionsreduktion von a erhalten werden 4 + 1 dimensionales freies Fermionensystem nur, wenn dessen zweite Chern-Klasse ungerade ist.

Dieses Phänomen hängt mit der Dimensionsleiter chiraler Anomalien zusammen, siehe Nakahara Abschnitt 13.6.2.

Vielen Dank für Ihre ausführliche Antwort! Wissen Sie, ob die Idee einer zweiten Chern-Klasse im 2D-Haldane-Modell im Kontext von Interband-Quantensystemen sinnvoll wäre? Wir wissen, dass die erste Chern-Nummer für Intraband-Systeme gilt. Ich weiß, dass das absurd klingt, aber ich versuche immer noch, mir andere (sogar unrealistische) Szenarien auszudenken, in denen die zweite Chern-Klasse im 2D-Haldane-Modell Sinn machen wird.
Bedeutet dies, dass die Kane-Mele-Invariante die Z/2 in Grad 2 in der KO-Theorie ist? Oder habe ich das falsch verstanden? Ich denke normalerweise an die Arf-Invariante.
TribalChief: Indem Sie Intra-Band-Systeme in Betracht ziehen, werden Sie nicht-Abelian Berry-Verbindungen und höherdimensionale Fasern in Ihrem Bündel zulassen, aber das Problem ist, dass der Basisraum immer noch vorhanden sein wird 2 dimensional.
@ Ryan Thorngren Ich fürchte, mein Wissen in der K-Theorie ist sehr einfach, aber ich habe viel Arbeit gesehen, die die verbindet Z 2 unveränderlich zur K-Theorie, zum Beispiel in Freed und Moore arxiv.org/abs/1208.5055
@DavidBarMoshe, danke, aber ich bin verwirrt darüber, warum der 2D-Basisraum ein Problem ist. Darüber hinaus werden in Abschnitt 13.5.1 der von Ihnen zitierten Nakahara-Ressource m Dimensionen mit m + 2 Dimensionen in Bezug auf Abelien / NonAbelian verglichen. Wenn sich dies nicht auf die bezieht Z 2 invariant, was ist das denn?
Stammeshäuptling: Die zweite Chern-Klassendichte hat die Form T R F ∧ F . Die einzige Möglichkeit, aus dieser Dichte eine Quantenzahl zu erhalten, besteht darin, sie über a zu integrieren 4 dimensionaler Raum. In dem Beispiel, das Sie gebracht haben, ist die Brillouin-Zone zweidimensional, daher gibt es keine Möglichkeit, die zweite Chern-Dichte zu integrieren, um eine topologische Quantenzahl zu erhalten.
Forts. Nakaharas Buch wurde vor der Entdeckung des geschrieben Z 2 unveränderlich. Daher wird es im Buch nicht ausdrücklich erwähnt. Ich habe die Nakahara-Referenz angegeben, weil sie eine detaillierte Beschreibung der Anomalie-Dimensionsleiter enthält. Qi, Hughes und Zhang erwähnten, dass sich ihre Arbeit auf die Anomalie-Dimensionsleiter in der Mitte der zweiten Spalte auf Seite 40 bezieht.
Forts. Die Verbindung der Anomalieleiter mit topologischen Isolatoren und der Z 2 Invariante wurde auch in der folgenden Arbeit von Li Kaufmann und Wehefritz-Kaufmann erwähnt: de.arxiv.org/abs/1501.02874v1 (letzter Absatz von Abschnitt 3.4). Es wurde ausführlicher im Zusammenhang mit den Quanten-Hall-Effekten von Hasebe arxiv.org/abs/1612.05853v2 ausgearbeitet .
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