Eine Frage zur Chern-Nummer und der Wicklungsnummer?

Die von Ihnen erwähnte Chern-Zahl ist das, was Sie erhalten, wenn Sie eine bestimmte Zweierform über eine Oberfläche integrieren. Es stellt sich heraus, dass diese beiden Formen die erste Chern-Klasse des Systems darstellen (das System besteht in diesem Fall aus dem Parameterraum und einem Linienbündel, das die relative Berry-Phase entlang Pfaden im Parameterraum beschreibt). Die wichtigsten Dinge an der ersten Chern-Klasse sind, dass 1) sie eine topologische Invariante des Systems ist und 2) wenn der Parameterraum zweidimensional ist, können Sie ihn über den Parameterraum integrieren, um eine Zahl zu erhalten, die auch a ist topologische Invariante des Systems.

Wenn Ihr Parameterraum eine Dimension hat$d>2$, dann können Sie immer noch die erste Chern-Klasse definieren, aber jetzt können Sie sie nur noch über zweidimensionale Unterräume des Parameterraums integrieren. Es wird immer noch eine Windungszahl gemessen, wie Sie erwähnt haben, aber jetzt hängt diese Windungszahl nicht nur vom System selbst ab, sondern auch von Ihrer Wahl des Unterraums. Aus diesem Grund ist es schwieriger, sich die Zahlen, die wir durch diese Art von Integralen erhalten, als topologische Invarianten des Systems vorzustellen, obwohl sie andere nützliche Interpretationen haben können.

Es gibt Verallgemeinerungen dieses Aufbaus, bei denen statt der Messung einer abelschen Berry-Phase Werte aufgenommen werden$U(1)$, können wir nicht-abelsche "Phasen" (Holonomie ist ein besseres Wort) messen, die Werte in komplizierteren Lie-Gruppen wie annehmen$SU(n)$. So etwas passiert, wenn Sie im adiabatischen Theorem die Annahme entfernen, dass der Grundzustand nicht entartet ist. In diesen Fällen können Sie die dem System zugeordneten höheren Chern-Klassen definieren (bei abelschen Phasen verschwinden alle diese höheren Klassen). Während die erste Chern-Klasse etwas war, das man über eine Oberfläche integrieren konnte, kann die zweite Chern-Klasse über eine 4-dimensionale Mannigfaltigkeit integriert werden, die dritte Chern-Klasse über eine 6-dimensionale Mannigfaltigkeit und so weiter. Darüber hinaus gibt es, genau wie bei der ersten Chern-Klasse, schöne Formeln für Formen, die diese Klassen in Bezug auf das Analogon der Berry-Krümmung darstellen. Wenn Ihr Parameter space ist$2d$dimensional, dann die Integration der$d$-th Chern-Klasse über dem Parameterraum gibt Ihnen eine topologische Invariante des Systems (für den abelschen Fall, wenn$d > 1$diese Chern-Klasse verschwindet, also sagt Ihnen die topologische Invariante nichts Nützliches).

Ein weiteres Beispiel, in dem die zweite Chern-Klasse erscheint, ist in$SU(2)$Yang-Mills-Theorie auf$\mathbb{R}^4$, wobei der Wert der Wirkung auf eine (anti-)selbst-duale Verbindung die "Wicklungszahl" einer gegebenen Zerfallsbedingung auf den Feldern misst. Genauer gesagt, wenn wir die Verbindung zum Zerfall (bis zur Eichtransformation) im Unendlichen benötigen, dann ist dies die Windungszahl einer Karte aus einer Kugel$S^3\subset \mathbb{R}^4$mit sehr großem Radius zur Spurweite$SU(2) \cong S^3$.