Beerenkrümmung in rotierenden Fallen

Ein Quantensystem in einer rotierenden (harmonischen) Falle ist äquivalent zu einem stationären System in Gegenwart eines Vektorpotentials A .

Den Beweis findet man hier in Kapitel 5 , aber kurz gesagt geht es so:

  • Beginnen Sie mit einem zeitunabhängigen Hamiltonoperator für eine harmonische 2D-Falle:

    H = P 2 2 M + 1 2 M ( ω X 2 X 2 + ω j 2 j 2 )

  • Wir drehen es um H ( T ) = R H R † , Wo R = e − ich ϕ L z ist der Rotationsoperator, L z dimensionslos.

  • Wir lösen die TDSE in unserem Zwischensystem nach einer Zeitabhängigkeit auf H ( T ) :

    ich ℏ ∂ Ψ ∂ T = H ( T ) Ψ

  • Wir gehen zum rotierenden Rahmen, indem wir die gedrehte Wellenfunktion betrachten Ψ ' = R † Ψ , und wir finden das folgende neue TDSE:

    ich ℏ ∂ Ψ ' ∂ T = H ( T ) ' Ψ ' ,
    Wo
    H ( T ) ' = ( P − M A ) 2 2 M + 1 2 M ( ω X 2 X 2 + ω j 2 j 2 − Ω R 2 ) ,

Wo A = Ω × R = − Ω j ich ^ + Ω X ȷ ^ , und das − Ω R 2 ist ein Zentrikularpotential.

Fragen

  • 1) Ich hätte eine Expressio für die Verbindung bekommen sollen A als Berry-Verbindung, da ich lediglich eine (adiabatische?) Zeitabhängigkeit in den Zustand eingeführt habe Ψ → e − ich ( Ω T ) L z Ψ .

Wenn ich davon ausgehe, dass das meine Berry-Phase ist γ , dann sollte die Verbindung kommen von :

− Ω T L z = γ = ∫ D R ⋅ A ,
Wo R sollte mein adiabatischer Parameter sein, den ich hier denke Ω T ?
Ich glaube, ich könnte schreiben Ω L z als Ω ⋅ L = Ω ⋅ ( R × P ) = ( Ω × R ) ⋅ P , aber ich kann das Gewünschte nicht bekommen A = Ω × R !

  • 2) Kann ich das skalare Zentrikularpotential auch aus dem Berry-Argument erhalten? Die gleiche Referenz in Kapitel IV gibt eine Formel für das Skalarpotential:

v ( R ) = H 2 2 M ( D D R | N ( R ) ⟩ | 2 − ⟨ D D R N ( R ) | N ( R ) ⟩ ⟨ N ( R ) | D D R N ( R ) ⟩ ) ,

wo nochmal R ist der adiabatische Parameter, den ich in meinem Fall annehme Ω T , Und | N ( R ) ⟩ = e − ich Ω T L z Ψ ?

Wenn ich völlig neben der Spur bin, was wäre das v sein und wie bekomme ich das Zentrifugalpotential von Berry?

Antworten (1)

In dieser Antwort werde ich eine explizite Formel des Zustands geben | N ⟩ und zeigen Sie, wie Sie die Berry-Verbindung und das Skalarpotential unter Verwendung der üblichen Formel der Berry-Verbindung und der Shanker-Berry-Potentialformeln erhalten.

Die Situation ist wie folgt:

Unser Ausgangssystem ist ein (nicht rotierender) zweidimensionaler (nicht isotroper) harmonischer Oszillator. Wir werden es adiabatisch mit einem zusätzlichen Quantensystem koppeln, das durch die Koordinaten des harmonischen Oszillators als langsame Koordinaten parametrisiert ist (und möglicherweise andere schnelle Koordinaten hat), so dass in der adiabatischen Näherung, die durch den (parametrisierten) Grundzustand des zusätzlichen Systems bestimmt wird, das zusammengesetzte System wird sei der rotierende harmonische Oszillator.

Da wir im adiabatischen Grenzfall arbeiten, brauchen wir nur den zusätzlichen systemparametrisierten Grundzustandseigenvektor anzugeben; wir müssen nicht die volle Dynamik kennen.

Damit die Lösung nicht wie eine wilde Vermutung erscheint, werde ich sie begründen, bevor ich auf die eigentlichen Berechnungen eingehe. Im Falle eines an ein Magnetfeld gekoppelten Spins ist die Berry-Krümmung das Feld eines Dirac-Monopols, das auf der Oberfläche der Kugel gleichmäßig und radial gerichtet ist. In unserem Fall ist die Lösung ein gleichmäßiges Magnetfeld in der Ebene. Im Prinzip können wir unser System also als Kugel wählen und die Grenze des Radius auf unendlich setzen, um die Ebene zu erhalten. Dieses Verfahren basiert auf dem als Wigner-İnönü-Kontraktion bekannten Prozess. In dieser Kontraktion ist die S U ( 2 ) Algebra der Sphäre kontrahiert zur Heisenberg-Weyl-Algebra der Ebene. Da wir wissen, dass der Grundzustand des Spinsystems ein spinkohärenter Zustandsvektor ist. Wir ersetzen ihn im Fall der Ebene durch den standardmäßigen kohärenten Glauber-Zustandsvektor. Die einzige Komplikation besteht darin, dass im ebenen Fall die Darstellung der Heisenberg-Weyl-Algebra unendlich dimensional ist. Aber das ist eigentlich kein Problem, weil alle Summen im Folgenden absolut konvergent sind.

Definieren

z = X + ich j
(Wir müssen skalieren z als: z → Ω z um die richtige Formel zu erhalten. Wir können das der Einfachheit halber am Ende der Berechnung tun).

Dann ist der kohärente Glauber-Zustandsvektor wie folgt gegeben:

| N ⟩ = e − z z ¯ 2 ( 1 z 1 ! z 2 2 ! . . . z ich ich ! . . . )

Bitte überprüfen Sie, ob der Vektor | N ⟩ ist richtig normalisiert:

Das Beerenpotential ist gegeben durch:

A = ⟨ N | D | N ⟩ = ⟨ N | ∂ ∂ z | N ⟩ D z + ⟨ N | ∂ ∂ z ¯ | N ⟩ D z ¯

Bitte überprüfen Sie das Ergebnis:

A = 1 2 ( z ¯ D z – z D z ¯ )

Zurück zu den kartesischen Koordinaten erhalten wir:

A = ich ( X D j – j D X )

Dies nach der Skalierung ergibt das richtige Ergebnis.

Ebenso eine direkte Anwendung der Formel:

v ( z , z ¯ ) = ⟨ N | ∂ ∂ z | N ⟩ ⟨ N | ∂ ∂ z ¯ | N ⟩ − ⟨ N | ∂ ← ∂ z ¯ ∂ → ∂ z | N ⟩

Hier erhalten wir:

v ( z , z ¯ ) = − z z ¯
Dies ergibt nach dem Skalieren das richtige Ergebnis.

Danke, aber ich habe Zeit T Und ϕ = Ω T . Wie beziehe ich das ein X , j und Ihr harmonischer Oszillator R = | z | ?
Entschuldigung, bedeutet das, dass das Argument nur für kohärente Zustände gültig ist? Was ist mit einem generischen Zustand, Eigenzustand des Hamiltonoperators?
Im Folgenden nenne ich das in der Frage angegebene System: „Unser System“ und das System, das wir an unser System koppeln, das „zusätzliche System“. Unser System, dh das in der Frage angegebene System, ist ein harmonischer Oszillator. Es hat zwei Eigenfrequenzen ω X Und ω j . Was ich in meiner Antwort erklärt habe, ist, wie man die Dynamik unseres Systems (dh des harmonischen Oszillators) in einem rotierenden Bezugssystem erhält, nicht durch eine Koordinatentransformation wie im Artikel, sondern durch adiabatische Kopplung an ein Zusatzsystem.
Forts. Dies gibt dem Vektor eine Bedeutung | N ⟩ als Grundzustand des Zusatzsystems . Das zusätzliche System ist nicht notwendigerweise ein harmonischer Oszillator. Tatsächlich war ich nicht spezifisch bezüglich seines Hamilton-Operators. Die einzige Anforderung war die Form seines Grundzustands (und seine Abhängigkeit vom Parameterraum, der in unserem Fall der Konfigurationsraum ist). Dieser Zustand kann ein Grundzustand vieler Hamiltonoperatoren sein, aber wir müssen nicht wissen, welcher.
Forts. Unser System, das schließlich a 2 D Der harmonische Oszillator in einem rotierenden System muss sich nicht in einem kohärenten Zustand befinden. Es kann jeden Zustand annehmen, der mit seiner Dynamik kompatibel ist. Es ist das zusätzliche System, das mit unserem System gekoppelt ist, das sich in einem kohärenten Zustand befinden muss, weil nur dieser spezifische kohärente Zustand eine Berry-Krümmung in Form eines einheitlichen Magnetfelds in der erzeugt z − Richtung.
Beerenkrümmung in rotierenden Fallen
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