Wie kann ich aus seiner Chern-Zahl auf die Topologie eines Quantenzustands (oder -bands) schließen?

Ich versuche das teilweise selbst zu verstehen. Die Berry-Phase wird aus Differentialformen wie den Eins-Formen berechnet$\omega$aus Zuständen konstruiert

$$\omega~=~\langle\psi|d\psi\rangle$$ und mit dem kovarianten Differential $D~=~d~+~\omega$die zwei Formen $$\Omega~=~D\omega~=~d\omega~+~\omega\wedge\omega$$ Die Tensorkomponenten der 2-Form $F$sind Elemente eines selbstadjungierten Hauptbündels $P$. Die Determinante dieser Elemente $$det\Big|1~+~\frac{ixF}{2\pi}\Big|~=~\sum_nc_jx^n$$ Dies ist ein charakteristisches Polynom, das die Chern-Klasse darstellt. Jede $c_n(P)$ist ein Element von $H^{2n}(M)$. Also die Krümmungsform für die Berry-Phase oder die Metrik der Fubini-Studie $\Omega=~dz\wedge d{\bar z}/(1~+~|z|^2)^2$ausgewertet wird $\int\Omega~=~2\pi i$und gibt $c_1~=~1$Es gibt also einen nichttrivialen Kozyklus auf der „2-Ebene“. Für diese projektive Geometrie gibt es alternierende Betti-Zahlen $1,~0$für gerade und ungerade.

Wenn Sie ein Produkt von Zuständen hätten$\prod_n |\psi_n\rangle$, sagen wir in einem verwickelten Zustand usw., könnten Sie das Differential anwenden$d$bis zu$n$Zeiten und Form und$n$-form. Zum Beispiel das Produkt$|\psi_1,~\psi_2\rangle$ $=~|\psi_1\rangle|\psi_2\rangle$definiert die Eins-Form

$$\omega~=~d|\psi_1,~\psi_2\rangle~=~d|\psi_1\rangle|\psi_2\rangle~+~|\psi_1\rangle d|\psi_2\rangle$$ und man könnte dann ein System von Differentialformen auf verschiedenen Ketten aufbauen. Das Analogon der projektiven Geometrie dazu ist a $G_2(V)$Grassmannian und dies setzt sich für n-Produkträume fort.