Adiabatisches Theorem und Berry-Phase

Soweit ich das überprüfen kann, kann der adiabatische Satz in der Quantenmechanik genau dann bewiesen werden, wenn es keine Kreuzung zwischen (pseudo-)zeitlich entwickelten Energieniveaus gibt. Um etwas expliziter zu sein, beschreibt man ein System unter Verwendung des Hamilton-Operators H ( s ) verifizieren H ( s = 0 ) = H 0 und H ( s = 1 ) = H 1 , mit s = ( t 1 − t 0 ) / T , t 0 , 1 wobei es sich um die anfängliche (endgültige) Zeit des Interaktionsumschaltens handelt. Damals, damals t 0 , hat man

H ( 0 ) = ∑ ich ε ich ( 0 ) P ich ( 0 )

mit dem P ich sind die Projektoren zu den Eigenzuständen, die dem Eigenwert zugeordnet sind ε ich ( 0 ) , die wir als bekannt annehmen, dh H 0 exakt diagonalisieren kann. Dann soll die zeitliche Entwicklung der Eigenzustände gegeben sein durch

H ( s ) = ∑ ich ε ich ( s ) P ich ( s )

was ziemlich gut ist, weil es nur erfordert, dass wir den Hamilton-Operator jederzeit diagonalisieren können, was wir immer mit dem Hermitizitätskriterium tun können. Das adiabatische Theorem (siehe zum Beispiel das Buch des Messias)

lim T → ∞ U T ( s ) P j ( 0 ) = P j ( s ) lim T → ∞ U T ( s )

mit dem Betreiber U T ( s ) Überprüfung der Schrödinger-Gleichung

ich ℏ ∂ U T ∂ s = T H ( s ) U T ( s )

genau bewiesen werden kann, wenn ε ich ( s ) ≠ ε j ( s ) jederzeit (siehe zB Messiah oder Kato).

Nun soll die Berry-Phase nicht verschwindend klein sein, wenn wir eine parametrische Kurvenwindung nahe einer Entartung haben, also genau dann, wenn ε ich ( s ) ≈ ε j ( s ) . Für weitere Details definiert Berry die geometrische Phase als

γ n ( C ) = − ∬ C d S ⋅ v n ( R )

mit (ich habe die Berry-Notation an meine angepasst)

v n ( R ) = ℑ { ∑ m ≠ n ⟨ n ( R ) | ∇ R H ( R ) | m ( R ) ⟩ × ⟨ m ( R ) | ∇ R H ( R ) | n ( R ) ⟩ ( ε m ( R ) − ε n ( R ) ) 2 }

für eine Trajektorie entlang der Kurve C im Parameterraum R ( s ) . Insbesondere definiert Berry die adiabatische Entwicklung als Folge des Hamilton-Operators H ( R ( s ) ) , also eine parametrische Evolution in Bezug auf die Zeit s . Dies sind die Gleichungen (9) und (10) in der Berry-Veröffentlichung.

Später (Abschnitt 3) argumentiert Berry so

Die Energienenner in [der Gleichung für v n ( R ) oben angegeben] zeigen, dass, wenn die Schaltung C liegt nahe an einem Punkt R ∗ im Parameterraum, bei dem der Zustand n ist also in eine Entartung verwickelt v n ( R ) und daher γ n ( C ) , wird von den Begriffen dominiert m entsprechend den anderen beteiligten Staaten.

Was mich ärgert, ist, dass das Berry-Phasenargument explizit das Adiabatentheorem verwendet. Meine Frage ist also hoffnungslos einfach: Was zum Teufel geht da vor? Können wir das adiabatische Theorem mit der Berry-Phasenausarbeitung in Einklang bringen? Ist die Berry-Phase eine Art Korrektur (im Sinne einer Störungserweiterung) des Adiabatensatzes? Gibt es ein Kriterium der Nähe zur Entartung , das erforderlich sein muss, um die Berry-Phase zu finden?

VERWEISE:

Könnten Sie bitte eine spezifischere Frage stellen als "was ist los"? Was bedeutet „Was ist los“? Du hast beschrieben, was los ist. Es passieren auch andere Dinge, aber es ist nicht klar, welche davon Sie interessant oder verwirrend finden. In dem Text, den Sie geschrieben haben, gibt es sicherlich keinen Widerspruch. Einige Theoreme gelten, wenn die Epsilons sicher getrennt sind, einige Effekte treten auf, wenn dies nicht der Fall ist, und so weiter.
@LubošMotl Danke für deinen Kommentar, meine Frage wurde in Eile geschrieben. Ich habe versucht, fokussiertere Fragen und mehr Details hinzuzufügen. Kurz gesagt, ich möchte wissen, ob die Berry-Phase und das adiabatische Theorem kompatibel sind und inwieweit sie es sind (falls sie es sind). Bitte sagen Sie mir, ob das, was ich hinzugefügt habe, immer noch nicht ausreicht, um einen Sinn zu ergeben. Danke noch einmal.
Die Berry-Phase und das adiabatische Theorem sind kompatibel. Einige Aussagen des Adiabatensatzes unterlassen es, die Phase der endgültigen Wellenfunktion zu erwähnen. Die Beerenphase ist insofern eine Ausarbeitung, als sie ausdrücklich sagt, was dieser Phasenfaktor ist. Das ist alles dazu.
@DanPiponi Danke für deinen Kommentar. Würden Sie dann sagen, dass die Nähe zu einem Entartungspunkt überhaupt kein Problem darstellt und dass der Adiabatensatz um den/die Entartungspunkt(e) erweitert werden kann? Wenn ja, würden Sie das bitte etwas genauer erläutern. Danke im Voraus.
@Oaoa: Ich frage mich, ob ein Teil des Problems das Alter der von Ihnen verwendeten Referenzen ist? Sie wurden vor Berrys Papier geschrieben. Sie könnten (implizit) die Zustände neu definieren, um die Berry-Phase zu entfernen, ohne die Wirkung geschlossener Schleifen im Parameterraum zu berücksichtigen. Vielleicht würde nur eine modernere Referenz wie Nakahara dies klären. Auch die Nähe zu Entartungspunkten ist kein Problem. Wenn Sie langsam genug vorgehen, durchläuft es Entartungspunkte, die das adiabatische Theorem und damit die Beerenphase unterbrechen.
@BebopButUnsteady Danke für deinen Kommentar. Ich denke nicht, dass das Alter der Referenz hier das große Problem ist. Das Messiah-Kato-Avron-Seiler-Yaffe-Verfahren verwendet explizit einen Eichansatz (na ja, zeitabhängige Störungstheorie, wenn Sie es vorziehen). Ich glaube, wir vergessen etwas im Beweis, das mit der Berry-Phase zusammenhängt (vielleicht vergessen wir genau die Berry-Phase, aber da bin ich mir noch nicht sicher).
@BebopButUnsteady Außerdem hast du natürlich Recht mit dem Näherungsproblem , ich hätte sagen sollen, den Entartungspunkt einschließen oder nicht , aber ich fühle mich mit dieser Vorstellung nicht wohl: Was bedeutet es, einen Punkt auf einem Kreis umzudrehen , der enthält diesen Punkt nicht wie Berry (und vor ihm Dirac für die Berechnung des Monopols) ? Also sollte ich vielleicht so denken: i) Es gibt den Beweis für den Adiabatensatz. ii) es gibt einige Probleme damit, bezogen auf die Holonomie-Gruppe. iii) Wann sind diese Probleme relevant? Ich werde versuchen, eine erste Antwort zu geben, wenn ich ein gutes Bild habe.

Antworten (2)

Der adiabatische Satz wird benötigt, um die Berry-Phasengleichung in der Quantenmechanik herzuleiten. Daher müssen das adiabatische Theorem und die Berry-Phase miteinander kompatibel sein. (Obwohl geometrische Ableitungen möglich sind, verwenden sie normalerweise keine Quantenmechanik. Und während sie mathematisch beleuchten, was vor sich geht, verschleiern sie, was physikalisch vor sich geht.)

Die Frage nach den Entartungspunkten ist etwas subtiler, aber lassen Sie mich eines klarstellen: Wenn man einen Entartungspunkt überschreitet, ist das adiabatische Theorem nicht mehr gültig und man kann die Berry-Phasengleichung nicht verwenden, die Sie in der Frage geschrieben haben (die Nenner wird am Entartungspunkt Null).

Nehmen wir nun den Spin im Magnetfeld als Beispiel zur Veranschaulichung der Berry-Phase. Angenommen, wir haben ein Spin-1/2-Teilchen in einem Magnetfeld. Der Spin richtet sich nach dem Magnetfeld aus und befindet sich im Niedrigenergiezustand E = E − . Nun entscheiden wir uns, die Richtung des Magnetfelds adiabatisch zu ändern, wobei wir die Stärke festhalten. Adiabat bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für den Übergang des Spin-1/2-Teilchens zum E = E + Staat ist verschwindend klein, dh ℏ / Δ t << E + − E − . Nehmen wir nun an, dass das Magnetfeld die Schleife unten nachzeichnet und am roten Punkt beginnt und endet:

Beerenphase

In diesem Fall erhält man eine Beerenphase gleich:

Beerenphase = γ = − 1 2 Ω

wo Ω ist der aufgespannte Raumwinkel. Diese Formel ist in Griffiths QM Abschnitt 10.2 bewiesen. Es ist jedoch nicht so wichtig, das Gesamtbild zu verstehen.

Ich habe dieses Beispiel gewählt, weil es ein paar Dinge zu beachten gibt, die es für Ihre Frage relevant machen:

1) Der adiabatische Satz ist bei diesem Problem für die Definition der Berry-Phase entscheidend . Da die Berry-Phase vom Raumwinkel abhängt, ist jeder Übergang zum E = E + Zustand hätte die Bedeutung des Aufzeichnens des Raumwinkels zerstört.

2) Der Entartungspunkt liegt im Mittelpunkt der Kugel, wo B = 0 , wo B ist das Magnetfeld. Obwohl der Spin jede Schleife auf der Kugel durchqueren kann, kann er diesen Entartungspunkt nicht durchlaufen, damit die Berry-Phase irgendeine Bedeutung hat. Dieser Entartungspunkt ist jedoch letztendlich für den Erwerb der Berry-Phase verantwortlich. Wir müssen gewissermaßen „den Entartungspunkt umgehen, ohne ihn zu durchlaufen“, um eine Berry-Phase zu erreichen.

vielen Dank für deine wirklich erhellende Antwort. Wenn ich das richtig verstehe, stellt das adiabatische Theorem immer eine Berry-Phase dar, aber normalerweise ist dieser Phasenfaktor nur 1 (oder die Phase = 0 ≡ 2 π ) und es ist keine Wirkung damit verbunden. Wenn es irgendwo einen Entartungspunkt gibt, kann die Phase im Gegensatz dazu sein ≠ 0 ≡ 2 π und es gibt Auswirkungen, die damit verbunden sind. Bleibt die Frage: was bedeutet irgendwo ? Ist die Distanz zur Entartung ein klarer Begriff? Was definiert den Raum? Vielleicht sollte ich dazu nochmal eine Frage stellen. Danke noch einmal.
Nun, ich habe eine andere Frage zu dem Raum gestellt, in dem die Entartung auftritt: physical.stackexchange.com/questions/128754
Nun, das adiabatische Theorem gibt nur eine Berry-Phase für an abgeschlossen Schleifen. Dies ist eine sehr strenge Bedingung, was bedeutet, dass Sie dort landen müssen, wo Sie im Parameterbereich begonnen haben. Wenn es keine geschlossene Schleife gibt, ist der Phasenfaktor das übliche "nur eine Phase", die weggemessen werden kann. Entschuldigung, dass ich so lange gebraucht habe, um mich bei Ihnen zu melden.
Kein Problem für die Verspätung, ich dachte eigentlich, ich wäre vor ein paar Tagen zu enthusiastisch. Sie haben vollkommen Recht, die Berry-Phase existiert nur als topologisches Hindernis. Nochmals vielen Dank für Ihre Antwort, die mich wieder auf den richtigen Weg gebracht hat.
@Xcheckr Das gif wurde entfernt. Ist es dieser geometrischen Phase von Berry ähnlich : eine Überprüfung ?
@LK Ja, es war ein ähnliches. Vielen Dank für den Hinweis.

Die Kompatibilität mit dem adiabatischen Theorem wurde durch die Antwort von @Xcheckr deutlich gemacht. Ich möchte nur einige Einblicke in das Problem der Entartung geben.

Diese Entartung, die zum Erwerb einer nichttrivialen Berry-Phase führt, lebt im abstrakten Parameterraum. Es ist im Allgemeinen nicht von dem interessierten geschlossenen Pfad der adiabatischen Parameterentwicklung irgendwie zu durchqueren, da es sich um eine Singularität (topologischer Defekt) in Bezug auf die adiabatische Konstruktion handelt. Und in Bezug auf den Spin- 1 2 Beispiel für ein 3 D Parameterraum, die Entartung bei B = 0 ist nichts anderes als ein magnetischer Monopol des fiktiven Eichfeldes der Berry-Krümmung, das auf dem Parameterraum definiert ist. Das Vorhandensein eines solchen Monopols macht die U ( 1 ) Bündel nicht trivial, daher die π 2 ( S 2 ) = Z Einstufung.

Mit einfachen Worten, sobald Sie einen Monopol haben, ist es kein Wunder, dass Sie eine Berry-Phase ungleich Null erhalten, indem Sie den fiktiven Magnetfluss berechnen, der durch den gegenüberliegenden Raumwinkel abgedeckt wird. Wenn Sie das Weyl-Halbmetall kennen, das a k → ⋅ σ → Hamiltonian ein 3 D In der Nähe der Bandkreuzung (Weylpunkt) wissen Sie sofort, dass dies der Fall ist B = 0 Entartung entspricht direkt der k = 0 Weyl-Punkt.

Adiabatisches Theorem und Berry-Phase
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