Adiabatische Entwicklung der Überlagerung von Zuständen

Ich werde eine Teilantwort versuchen, um den Ball ins Rollen zu bringen.

Unter der adiabatischen Näherung werden die Phasen wie folgt berechnet:

Unter einem sich langsam ändernden Hamiltonian$H ( t )$mit momentanen Eigenzuständen$| n (t)\rangle$und entsprechende Energien$E_n ( t )$, entwickelt sich aus dem Anfangszustand ein Quantensystem

$|\psi(0)\rangle =\sum _{n}c_{n}(0)|n(0)\rangle$

zum Endzustand

$|\psi(t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)|n(t)\rangle$

wo die Koeffizienten die Phasenänderung erfahren

$c_{n}(t)=c_{n}(0)e^{i\theta _{n}(t)}e^{i\gamma _{n}(t)}$

mit der dynamischen Phase

$\theta_{m}(t)={\frac {-1}{\hbar }}\int _{0}^{t}E_{m}(t')dt'$

und geometrische Phase

$\gamma _{m}(t)=i\int _{0}^{t}\langle m(t')| \partial_{t'} | {m}(t')\rangle dt'.$

Die Probleme, die OP mit der zufälligen Phase der numerischen Diagonalisierung identifiziert hat, ruinieren den letzten Ausdruck. Insbesondere wenn eine zufällige Phase eingeführt wird,$\partial_t |m(t)\rangle$ist nicht mehr definiert. Dies ist nicht nur ein numerisches Problem, es ist grundlegend – es ist immer möglich (in der adiabatischen Grenze), eine U(1)-Eichtransformation einzuführen$|n(t)\rangle \mapsto e^{-i\beta(t)} |n(t)\rangle$das bezieht sich auf den gleichen physikalischen Zustand.$\beta(t)$ist eine langsam variierende glatte Funktion. Mit anderen Worten, die Phase ist an einem gegebenen "Langzeit"-Punkt nicht eindeutig.

Um mit Berrys Argument fortzufahren, müssen wir uns auf den Fall spezialisieren, dass der Hamilton-Operator von einer Reihe von Parametern abhängt$R$. In unserem Fall werden wir den Hamiltonoperator leicht verallgemeinern:

Das Spektrum und die Eigenzustände von$H$sind nur vom 3-Vektor abhängig$\vec{h}$, werden also umbenannt$E(h)$,$|n(h)\rangle$bzw.

Die Beerenphase ist$\gamma_n = \int_0^T i\langle n | \partial_{t} | n(t)\rangle dt = \int_\mathcal{C} i\langle n | \partial_{h^i} | n(t)\rangle dl^i$, wobei der rechte Ausdruck ein Linienintegral über in ist$h$- Zwischenraum$h(t=0)$Und$h(t=T)$.

Nur im Sonderfall das$h$zu einem späteren Zeitpunkt auf seinen ursprünglichen Wert zurückkehrt, wird die Berry-Phase eichinvariant, also experimentell relevant/messbar.

Ich fasse nun das hier angeführte Argument zusammen . Vermuten$\mathcal{C}$ist eine geschlossene Kurve, die eine Fläche begrenzt$S$. Definieren Sie das Beerenpotential$A_i = i\langle n(h) | \frac{\partial}{\partial h^i} | n(h) \rangle$, so dass$\gamma_n = \oint_\mathcal{C} \vec{A}\cdot d\vec{h}$. Wenden Sie den Satz von Stokes an:

Dann mit

Abhängigkeit zu beseitigen$\partial_j m$, kann man die Berry-Krümmung umschreiben als

was eichinvariant ist!$^\text{up to an overall, irrelevant factor of $2\pi$}$

Kehren Sie zu Ihrer ursprünglichen Situation zurück, die dem Fall entspricht, dass die 3D$h(t)$Kurve ist auf die beschränkt$z$Achse finden wir folgendes -

1. Das Gebiet von$S$ist Null.
2. Die Berry-Krümmung ist gegeben durch$\Omega^{\mu \nu} = i \sum_{m\neq n} \sum_i \frac{\langle n | \sigma_i^\mu | m \rangle \langle m | \sigma_i^\nu | n \rangle - ( \mu \leftrightarrow \nu) }{(E_n-E_m)^2}$.
3. Sofern die Berry-Krümmung nicht irgendwo eine Singularität aufweist, ist die Berry-Phase Null. Es ist jedoch wahrscheinlich, dass es irgendwo eine Singularität geben wird$h$Raum.

Bitte nehmen Sie diese Berechnungen nicht als Gebot der Stunde, es können Faktoren von 2 oder fehlen$i$.

Ihre Zustände haben aufgrund einer willkürlichen globalen Phase$U(1)$Symmetrie messen. Um es zu entfernen, müssen Sie ein gemeinsames Messgerät für alle Ihre Staaten reparieren. Ein bequemer Weg, dies zu tun, besteht darin, iterativ einen parallelen Transport aufzuerlegen, dh die Phase Ihrer zu modifizieren$|n_i\rangle$angeben, dass die Bedingung$\text{Im}\langle n_{i-1}|n_i\rangle = 0$ist erfüllt. Beachten Sie, dass in diesem Fall die (diskretisierte) Berry-Phase nicht als Summe der Phasendifferenzen zwischen Ihren nachfolgenden Zuständen entlang Ihrer geschlossenen Schleife im Hilbert-Raum angegeben wird, sondern einfach als Phasendifferenz zwischen Ihrem Anfangs- und Endzustand,$\phi=\text{Im}\ln\langle n_{0}|n_N\rangle$.