Ich habe den Beweis des Adiabatensatzes (in Sakurai) durchgelesen und festgestellt, dass ich nicht ganz sicher bin, wie sich Schrödinger-Basis-Kets verhalten, wenn wir einen zeitabhängigen Hamilton-Operator haben. Ich weiß, dass sich bei einem zeitunabhängigen Hamilton-Operator die Basis-Kets im Schrödinger-Bild nicht ändern.
Also wenn sind die Energie-Eigenkets von zum Zeitpunkt Und ist ein willkürlicher Zustand zur Zeit , ist das Folgende überhaupt wahr?
Wikipedia und Sakurai haben beide (jeweils in unterschiedlicher Schreibweise):
Die Basis des Hilbert-Raums in Schrödingers Bild wird unabhängig von irgendwelchen Eigenschaften des Hamilton-Operators als zeitunabhängig angenommen. Der Hamiltonoperator ist nur ein weiterer Operator. Wenn der Hamiltonoperator zeitabhängig ist, sind offensichtlich auch seine Eigenzustände und Eigenwerte zeitabhängig.
Beide Gleichungen, die Sie aufschreiben, drücken nur die Tatsache aus, dass die Basis der Eigenzustände von ist immer noch eine Basis, so dass ein allgemeiner Ket-Vektor, einschließlich des tatsächlichen Zustandsvektors des Systems, als lineare Überlagerung dieser Basisvektoren mit einigen allgemeinen komplexen Koeffizienten erweitert werden kann . Die beiden Entwicklungen unterscheiden sich nur durch die Phase, die man in die Koeffizienten einbezieht oder in die Basisvektoren . Eine Konvention beinhaltet die Phase , ein anderer nicht, und so weiter. Offensichtlich gibt es keine "allgemein verbindliche" Regel, die die richtige Phase dieser Vektoren vorschreiben würde, also gibt es eine gewisse Freiheit bei der Notation. Beachten Sie, dass ein Phasenfaktor multipliziert mit einem Eigenzustand immer noch ein Eigenzustand ist.
Was auch immer Ihre Konvention für die Phasen ist, wenn Sie der Mathematik sorgfältig folgen und sich daran erinnern, was die Symbole bedeuten – die definierenden Gleichungen – werden Sie in der Lage sein, die unveränderlichen Behauptungen über den Adiabatensatz abzuleiten. Die Wikipedia-Sakurai-Konventionen behandeln die Phasen weise und natürlich, um die Ableitungen zu beschleunigen.