Zeitentwicklung im abstrakten Zustandsraum der Quantenmechanik

Question

Zeitentwicklung im abstrakten Zustandsraum der Quantenmechanik

Gold

Wie ich gelernt habe, kann das erste Postulat aus der Quantenmechanik wie folgt formuliert werden:

Die Zustände eines Quantensystems werden durch Vektoren in einem komplexen Hilbertraum beschrieben $\mathcal{H}$ .

Das Buch betont das dann $\mathcal{H}$ Es ist nicht nötig $L^2(\mathbb{R}^n)$ für einige $n$ , dh es ist nicht unbedingt der Raum der Wellenfunktionen. Der Autor sagt ein Element $\left|\psi\right\rangle\in \mathcal{H}$ Anstatt eine Wellenfunktion zu sein, ist es ein abstraktes Objekt, das alle Informationen über das System in diesem Zustand enthält.

In dieser Situation erscheinen Wellenfunktionen, wie ich es verstanden habe, als eine mögliche Darstellung der Zustände des Systems in dem Fall, in dem wir es mit einem Teilchen ohne Spin zu tun haben. In diesem Fall für jedes Ket $\left|\psi\right\rangle$ man assoziiert eine Funktion $\psi \in L^2(\mathbb{R}^n)$ und man hat $\left\langle x\right|$ definiert durch

⟨ X | ψ ⟩ = ψ (X)

$\left \langle x |\psi\right\rangle=\psi(x)$

für alle $x\in \mathbb{R}^n$ .

Nun ist die Entwicklung einer Wellenfunktion einfach durch die Schrödinger-Gleichung gegeben. Mit anderen Worten, die Evolution $t\mapsto \Psi(\cdot ,t)$ mit $\Psi(\cdot, t)\in L^2(\mathbb{R}^n)$ wird von gegeben

- ich ℏ \frac{\partial Ψ}{\partial T} (X, T) = \hat{H} Ψ (X, T)

$-i\hbar \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}(x,t)=\hat{H}\Psi(x,t)$

Wo $\hat{H} : L^2(\mathbb{R}^n)\to L^2(\mathbb{R}^n)$ ist der Hamilton-Operator für das Teilchen.

Aber was ist mit dem allgemeinen Fall? Wenn $\mathcal{H}$ der Hilbert-Raum für ein bestimmtes Quantensystem ist und wenn wir einen Anfangszustand haben $\left|\psi_0\right\rangle$ gegeben, was ist die zeitliche Entwicklung in diesem Fall? Meiner Meinung nach kann es nicht die Schrödinger-Gleichung sein, weil die Kets $\left|\psi\right\rangle\in \mathcal{H}$ sind keine Funktionen.

Wie geht man vor diesem Hintergrund in diesem abstrakten Zustandsraumformalismus mit der zeitlichen Entwicklung allgemeiner Quantensysteme um?

Alfred Centauri

Kurze Antwort ist diese:

| ψ (t) ⟩

$|\psi(t)\rangle$ ist eine ketwertige Funktion der Zeit , die jedem Wert von ein ket (Zustandsvektor) zuordnet

t

$t$ . Die abstrakte Schrödinger-Gleichung ist äquivalent zu

| ψ (T + D T) ⟩ = | ψ (T) ⟩ - \frac{ich}{ℏ} H | ψ (T) ⟩ D T

$|\psi(t + dt)\rangle = |\psi(t)\rangle - \frac{i}{\hbar}H|\psi(t)\rangle dt$

Antworten (2)

Zeitentwicklung im abstrakten Zustandsraum der Quantenmechanik

Kurze Antwort ist diese: $|\psi(t)\rangle$ ist eine ketwertige Funktion der Zeit , die jedem Wert von ein ket (Zustandsvektor) zuordnet $t$ . Die abstrakte Schrödinger-Gleichung ist äquivalent zu $| ψ (T + D T) ⟩ = | ψ (T) ⟩ - \frac{ich}{ℏ} H | ψ (T) ⟩ D T$ $|\psi(t + dt)\rangle = |\psi(t)\rangle - \frac{i}{\hbar}H|\psi(t)\rangle dt$

ACuriousMind · Answer 1

Die Schrödinger-Gleichung ist nicht auf eine bestimmte Art von Hilbert-Raum beschränkt. Es gibt kein Problem mit abstrakten Kets.

Gegeben sei ein Zustandsraum $\mathcal{H}$ , ist ein Schrödinger- (oder zeitabhängiger) Zustand durch eine (glatte) Abbildung gegeben

| ψ (\dot{}) ⟩ : R \to H, T \mapsto | ψ (T) ⟩

$\lvert\psi(\dot{})\rangle : \mathbb{R} \to \mathcal{H}, t \mapsto \lvert \psi(t) \rangle$ also der Schrödinger-Zustand

| ψ (\dot{}) ⟩

$\lvert\psi(\dot{})\rangle$ ist in

C^{\infty} (R, H)

$C^\infty(\mathbb{R},\mathcal{H})$ und die Zeitentwicklung ist dadurch gegeben, dass sie die Schrödinger-Gleichung erfüllt

ich ℏ \partial_{T} | ψ (T) ⟩ = H | ψ (T) ⟩

$\mathrm{i}\hbar\partial_t\lvert\psi(t)\rangle = H\lvert\psi(t)\rangle$ wo es zu verstehen ist, dass die

\partial_{t}

$\partial_t$ wirkt auf die Funktion

R \to H

$\mathbb{R}\to\mathcal{H}$ (dh

\partial_{t} | ψ (t) ⟩

$\partial_t\lvert\psi(t)\rangle$ ist die Ableitung von

| ψ (\dot{}) ⟩

$\lvert\psi(\dot{})\rangle$ bewertet bei

t

$t$ ) und das

H

$H$ wirkt auf seinen Wert in

H

$\mathcal{H}$ damals

t

$t$ .

Es ist wichtig zu erkennen, dass die Zeitableitung auf Funktionen im Zustandsraum wirkt und kein Operator im Zustandsraum selbst ist, siehe auch diese Antwort von mir .

Javier · Answer 2

Wer sagt, dass Kets keine Funktionen sind? Ein Ket kann eine Funktion der Zeit sein: $|\psi(t)\rangle$ . Da sie Elemente eines Vektorraums (mit vollständigem inneren Produkt) sind, können Sie ihre Ableitung definieren:

\frac{D | ψ ⟩}{D T} = lim_{H \to 0} \frac{| ψ (T + H) ⟩ - | ψ (T) ⟩}{H}

$\frac{d|\psi\rangle}{dt} =\lim_{h\rightarrow 0} \frac{|\psi(t+h)\rangle-|\psi(t)\rangle}{h}$

Und einen Hamiltonian gegeben $H : \mathcal{H}\to\mathcal{H}$ , die ein linearer Operator auf dem Hilbert-Raum ist (und möglicherweise sogar eine Funktion der Zeit selbst ist), lautet die Schrödinger-Gleichung:

ich ℏ \frac{D | ψ (T) ⟩}{D T} = H | ψ (T) ⟩

$i\hbar \frac{d|\psi(t)\rangle}{dt} = H |\psi(t)\rangle$

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Gold

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ACuriousMind

Javier

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