Gibt es ein Äquivalent zur Schrödinger-Gleichung für die Quantenmechanik über den reellen Zahlen?

Viele Menschen haben Alternativen zur Standard-Quantenmechanik in Betracht gezogen, bei denen der Hilbert-Raum über den reellen statt über den komplexen Zahlen liegt – siehe zB hier , hier , hier , hier , hier und hier . Im Allgemeinen ist diese alternative Theorie der Standard-Quantenmechanik über die komplexen Zahlen überraschend ähnlich:

Alle größten Hits sind noch da: Interferenz, Verschränkung, Verletzungen der Bell-Ungleichung, nichtkommutierende Observablen, nicht-eindeutige Zerlegung gemischter Zustände, universelle Quantencomputer, der Zeno-Effekt, die Sätze von Gleason und Kochen-Specker.

Aber ich bin mir nicht sicher, wie man die Schrödinger-Gleichung auf die reale Umgebung verallgemeinern würde. Um einen unitären Zeitentwicklungsoperator zu erhalten, müssen Sie einen antihermiteschen Operator potenzieren. Der einzige Operator, der bequem herumliegt, ist der Hamiltonian, der hermitesch ist. Glücklicherweise gibt es bei den komplexen Zahlen eine einfache Möglichkeit, einen hermiteschen Operator in einen anti-hermiteschen Operator umzuwandeln: Sie multiplizieren ihn einfach mit − ich , wie es in der Schrödinger-Gleichung geschieht. Aber bei den reellen Zahlen fällt mir keine natürliche Möglichkeit ein, den symmetrischen Hamilton-Operator in einen antisymmetrischen Operator umzuwandeln, der sich in einen orthogonalen Zeitentwicklungsoperator potenziert. Wie würde das funktionieren?

@Qmechanic Ich glaube nicht, dass davon Duplikate sind.

Antworten (2)

Quantenmechanik für eine echte Wellenfunktion ψ ( R , T ) hat die Wellengleichung ("Schrödinger-Gleichung")

ℏ ∂ ∂ T ψ ( R , T ) = A ψ ( R , T ) ,
Wo A ist ein echter anti-hermitescher Operator ("Hamiltonian"). Ein Majorana-Fermion auf der 2D-Oberfläche eines topologischen Supraleiters liefert eine Realisierung mit einem Zweikomponenten-Spinor ψ ( X , j , T ) und ein 2 × 2 Hamiltonsche Matrix A mit Elementen
A = v ( ∂ / ∂ j ∂ / ∂ X ∂ / ∂ X − ∂ / ∂ j ) + ( 0 v ( X , j ) − v ( X , j ) 0 ) .
(Der Koeffizient v ist die energieunabhängige Geschwindigkeit der Majorana-Fermionen und v ist eine ortsabhängige Magnetisierung.)

Eine Bemerkung - was ist ein echter Spinor? Spinoren sind auf definiert C AFAIK, echter Spinor ist nur ein Zweikomponentenvektor, der weniger Informationen enthält als komplexer Spinor?
Majorana-Spinoren sind eine reale Darstellung der Clifford-Algebra

Wenn Sie einen symmetrischen Operator haben S , können Sie es in ein antisymmetrisches verwandeln, indem Sie es in eine komplexe Struktur einbetten. Zum Beispiel das Analogon der Multiplikation der Selbstadjungierten H von ich wäre das Tensorprodukt

J ⊗ S

Wo J ist die symplektische Form auf R 2 . Bei der Einbettung S identifiziert sich mit ICH 2 ⊗ S , Wo ICH 2 ist der 2 × 2 Identitätsmatrix.

Es sollte nicht überraschen, dass dieser Einbettungstrick und die komplexe Einstellung zu ungefähr dem gleichen Ergebnis führen. In beiden Fällen haben Sie die Anzahl der realen Dimensionen verdoppelt.

Fairer Punkt, aber ich würde argumentieren, dass dieser Trick gegen den Geist des realwertigen QM verstößt, indem er die komplexe Struktur im Wesentlichen durch die Hintertür einschleicht. Insbesondere wirkt der "antisymmetrisierte" Operator auf einen anderen (größeren) Hilbert-Raum als den ursprünglichen.
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