Kann eine Schrödinger-Gleichung zweiter Ordnung die Norm bewahren?

Nein, die Norm würde nicht erhalten bleiben. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass der Hamilton-Operator zeitunabhängig mit diskreten (aber möglicherweise entarteten) Eigenwerten ist$E_n$. Dann haben wir

$$\begin{align*} |\psi(t)\rangle &= \sum_n c_n(t)\, |E_n\rangle \\ i \hbar \partial_t^2 |\psi(t)\rangle &= H |\psi(t)\rangle \\ i \hbar \sum_n \ddot{c}_n(t)\, |E_n\rangle &= \sum_n c_n(t)\, E_n |E_n\rangle \\ \sum_n (i \hbar \ddot{c}_n(t)- c_n(t)\, E_n) |E_n\rangle &= 0 \\ \ddot{c}_n(t) + \frac{i}{\hbar} E_n c_n(t) &= 0 \\ c_n(t) &= \exp \left( \sqrt{-\frac{i E_n}{\hbar}} t \right) = \exp \left( \sqrt{\frac{E_n}{\hbar}} e^{-\frac{i \pi}{4}} t \right) \\ |c_n(t)|^2 &= c_n(t)\, c_n^*(t) = \exp \left( \sqrt{\frac{2 E_n}{\hbar}} t \right) \end{align*}$$

Und$|\psi(t)|^2$wächst mit der Zeit exponentiell. Das Problem ist, dass$e^{-i E_n / \hbar}$entwickelt sich im Laufe der Zeit auf eine normerhaltende Weise, aber die zweite Ableitung bringt eine Quadratwurzel ein, die den reinen imaginären Exponenten in einen realen Teil dreht, was die Dinge durcheinander bringt.

Aber Ihre vorgeschlagene Modifikation ist ohnehin nicht die physikalisch natürliche. Beachten Sie zum einen, dass Ihr "$\hbar$" hat andere Einheiten als die physikalische. Anstatt die zu verlassen$i\hbar$so wie es ist, aber das ändern$\partial_t$zu einem$\partial_t^2$, ist die natürlichere Modifikation der Schrödinger-Gleichung, die sie zweiter Ordnung macht, die Operatoren auf beiden Seiten zu "quadrieren", dh zu ändern$i \hbar \partial_t$Zu$(i \hbar \partial_t)^2 = -\hbar^2 \partial_t^2$Und$H$Zu$H^2$, zu bekommen

$$-\hbar^2 \partial_t^2 |\psi(t)\rangle = H^2 |\psi(t)\rangle.$$ Im Falle des Hamiltonian $H^2 = (cp)^2 + (mc^2)^2$für ein relativistisches Teilchen ist dies als Klein-Gordon-Gleichung bekannt, und obwohl es das gleiche Problem der nicht konstanten Norm hat, stellt es sich heraus, dass es die zeitliche Entwicklung eines skalaren relativistischen Quantenfelds (kein Teilchen, wie man könnte) genau beschreibt erwarten).

Die Antwort auf Ihre Frage lautet, dass die Antwort für generische Anfangsbedingungen nein lautet. Ich werde unten ein explizites Gegenbeispiel geben.

Erstens leben wir in einem Universum, in dem die Schrödinger-Gleichungen als Gleichung zweiter Ordnung geschrieben werden können: Wenden Sie einfach an$- \mathrm{i} \partial_t$auf die Schrödinger-Gleichung (erster Ordnung).

$$\begin{align} \mathrm{i} \partial_t \psi(t) = H \psi(t) , && \psi(0) = \phi \in \mathcal{H} , \label{Schroedinger_equantion} \end{align}$$ und erhalte die Wellengleichung zweiter Ordnung $$\begin{align} \partial_t^2 \psi(t) = - H^2 \psi(t) , \label{wave_equation} \end{align}$$ mit den Anfangsbedingungen $$\begin{align*} \psi(0) = \phi , \; \partial_t \psi(0) = - \mathrm{i} H \psi(0) = - \mathrm{i} H \phi . \end{align*}$$ Beachten Sie, dass Sie als Gleichung zweiter Ordnung nicht nur angeben müssen $\psi(0)$sondern auch ihre zeitliche Ableitung als Anfangsbedingung. Um sicherzustellen, dass das, was Sie erhalten, tatsächlich der Schrödinger-Gleichung entspricht, müssen Sie außerdem eine \emph{bestimmte} Anfangsbedingung für wählen $\partial_t \psi(0) = - \mathrm{i} H \phi$. Andere Auswahlmöglichkeiten geben Ihnen andere Gleichungen, aber keine davon ist äquivalent.

Wie Sie sehen können, haben die Lösungen, wenn Sie eine mit der Schrödinger-Gleichung kompatible Anfangsbedingung wählen, die üblichen Eigenschaften, zB die Norm$\lVert \psi(t) \rVert = \lVert \psi(0) \rVert$. Aber für generische Entscheidungen muss dies nicht zutreffen: Pick$H = \sigma_3$so dass$H^2 = \mathbb{1}$. Dann ist die Wellengleichung einfach

$$\begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \left ( \begin{matrix} \psi_1(t) \\ \psi_2(t) \\ \end{matrix} \right ) + \left ( \begin{matrix} \psi_1(t) \\ \psi_2(t) \\ \end{matrix} \right ) = 0 , \end{align*}$$ also zwei Kopien der üblichen Wellengleichung. Die Lösungen sind $$\begin{align*} \psi(t) = c_- \, \mathrm{e}^{- \mathrm{i} t} + c_+ \, \mathrm{e}^{+ \mathrm{i} t} \end{align*}$$ wo die Koeffizienten $c_{\pm} \in \mathbb{C}^2$müssen aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Jetzt wählen $\psi(0) = c_+ + c_- = (2,2)$Und $\partial_t \psi(0) = (0,0) = \mathrm{i} (c_+ - c_-)$als Anfangsbedingungen. Das führt zu $c_- = c_+ = 1$, und somit $$\begin{align*} \psi(t) = 2 \cos t \, \left ( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right ) , \end{align*}$$ und die Norm $\lVert \psi(t) \rvert = 2 \sqrt{2} \, |\cos t|$dieses Vektors oszilliert offensichtlich zeitlich und ist daher nicht erhalten. Für die spezielle Anfangsbedingung $\partial_t \psi(0) = - \ii H \psi(0)$, die Norm bleibt jedoch erhalten.

Lassen Sie mich meine obigen Kommentare zusammenfassen, damit die Botschaft „manchmal, aber nicht immer“ nicht verloren geht.

Das übliche Argument für das konventionelle Schr eqn mit hermitesch, zeitunabhängig$\mathbb{K}$,

$$i\hbar\partial_t \langle \varphi|\varphi\rangle = \langle \varphi|\mathbb{K}- \mathbb{K}^\dagger|\varphi\rangle=0 ,$$ ist vordergründig verloren, da bekommt man nur $$i\hbar\partial_t (\langle \varphi|\dot \varphi\rangle -\langle \dot \varphi|\varphi\rangle)= \langle \varphi|\mathbb{H}+ \mathbb{H}^\dagger|\varphi\rangle$$ auf diese Weise – Integration nach Teilen. Also für Antihermitean $\mathbb{H}$, erhalten Sie eine Erhaltungsgröße, die jedoch nicht die Norm ist.

Trotzdem ist der Kern von$(iℏ∂_t−\mathbb{K})$wird auch im Kernel von sein$(iℏ∂^2_t−\mathbb{K}^2/iℏ)$, das heißt, die invarianten Normlösungen der Schr-Gleichung für$\mathbb{K}$wird auch Ihre Gleichung mit lösen$\mathbb{H}=−i\mathbb{K}^2/ℏ$, die natürlich auch "schlechte" Lösungen haben wird.

Sie können dies schematisch veranschaulichen (wobei Sie die Definition der Normprobleme beiseite lassen - Sie können Ihre Antwort trivialerweise durch räumliche Gaußsche Filter modulieren), durch das trivialste Beispiel:$\mathbb{K}=ℏω$, somit$\mathbb{H}=−iℏω^2$, wo Sie oszillierende Lösungen erhalten$\exp(±iωt)$Bewahrung der Norm; während ihre trigonometrischen Kombinationen,$\cos(ωt), ~\sin(ωt)$, natürlich nicht.