Lösen der Schrödinger-Gleichung mit einem zeitabhängigen Hamilton-Operator

Ich versuche, die allgemeine Lösung der Schrödinger-Gleichung mit einem zeitabhängigen Hamilton-Operator zu finden:

ich ∂ ∂ T | ψ ( T ) ⟩ = H ( T ) | ψ ( T ) ⟩ .

Mein Hamiltonian entwickelt sich im Laufe der Zeit, aber er bleibt hermitesch, also zu jeder Zeit T Ich habe eine orthonormale Basis von Eigenzuständen { | ψ N ( T ) ⟩ } Wo

H ( T ) | ψ N ( T ) ⟩ = E N ( T ) | ψ N ( T ) ⟩ .

Mein Ausgangspunkt zur Lösung der Schrödinger-Gleichung wäre, meinen Zustand zu erweitern | ψ ( T ) ⟩ auf orthonormaler Basis. Ich werde meine Basis als die Eigenzustände von wählen H ( 0 ) , dh der Satz { | ψ N ( 0 ) ⟩ } , Also habe ich

| ψ ( T ) ⟩ = ∑ N C N ( T ) | ψ N ( 0 ) ⟩

Was wäre, wenn ich expandieren wollte | ψ ( T ) ⟩ in Bezug auf die zeitabhängigen Eigenzustände { | ψ N ( T ) ⟩ } zu einem beliebigen Zeitpunkt ungleich Null? Nun, ich weiß, wie sich diese Zustände entwickeln, also kann ich sie in Beziehung setzen { | ψ N ( 0 ) ⟩ } : die Staaten { | ψ N ( T ) ⟩ } lösen Sie die Schrödinger-Gleichung als

ich ∂ ∂ T | ψ N ( T ) ⟩ = H ( T ) | ψ N ( T ) ⟩ = E N ( T ) | ψ N ( T ) ⟩ ⇒ | ψ N ( T ) ⟩ = exp ⁡ ( − ich ∫ 0 T E N ( T ' ) D T ' ) | ψ N ( 0 ) ⟩

Was mir die Beziehung zwischen gibt { | ψ N ( 0 ) } Und { | ψ N ( T ) ⟩ } . Ich kann dies umkehren, um zu finden

| ψ N ( 0 ) ⟩ = exp ⁡ ( ich ∫ 0 T E N ( T ' ) D T ' ) | ψ N ( T ) ⟩ .

Ersetzen Sie dies in meinen Ausdruck für | ψ ( T ) ⟩ , Ich habe

| ψ ( T ) ⟩ = ∑ N C N ( T ) exp ⁡ ( ich ∫ 0 T E N ( T ' ) D T ' ) | ψ N ( T ) ⟩

Auf Seite 346 von Sakurais Modern Quantum Mechanics, Gl. (5.6.5) hat er die allgemeine Lösung erweitert | ψ ( T ) ⟩ genau so, aber die Integralphase hat ein Minuszeichen vorne. Ich sehe nicht, wo ich in meiner obigen Argumentation falsch gelaufen bin. Die folgende Analyse in Sakurais Buch zum Beweis des Adiabatensatzes erfordert das Minuszeichen, um zu funktionieren, daher hätte ich sehr gerne einige Hinweise! Vielen Dank im Voraus.

Welche Ausgabe? Welches Jahr?
Die zweite Ausgabe der internationalen Version, die 2011 von Pearson veröffentlicht wurde.

Antworten (1)

Davon gehen Sie aus

ich D D T ψ N ( T ) = H ( T ) ψ N ( T )   ,

was nicht wahr ist. Ich denke, die Verwirrung entsteht wegen der Notation für ψ N ( T ) , die oft als momentane Eigenzustände bezeichnet werden . Wählen wir die Notation ψ N , τ , Lösung:

H ( τ ) ψ N , τ = E N , τ ψ N , τ   .

Jetzt können wir natürlich Lösungen finden ψ N , τ ( S ) auf das zeitabhängige Schrödinger-Problem

ich D D T ψ N , τ ( T ) = H ( S ) ψ N , τ ( T )         ,   ψ N , τ ( 0 ) = ψ N , τ   ,

Aber die Schrödinger-Gleichung regelt nicht die Abhängigkeit von ψ N , τ auf dem Parameter τ (was ich als griechischen Buchstaben gewählt habe, um zu betonen, dass seine Rolle von der damaligen Zeit sehr verschieden ist T ).

Der Satz { ψ N , τ } N ist eine Basis wie jede andere Basis, also kann man den Vektor jederzeit erweitern T auf dieser Basis unter Verwendung zeitabhängiger Koeffizienten C ~ N ( T ) :

ψ ( T ) = ∑ N C ~ N ( T ) ψ N , τ   .

Das bringt aber keinen wirklichen Vorteil bei der Lösung des Schrödinger-Problems, denn die ψ N τ sind keine Eigenvektoren von H ( T ) für T ≠ τ .

Was Sie getan haben, erweitert sich ψ ( T ) in den momentanen Eigenzuständen ψ N , T als

ψ ( T ) = ∑ N C N ( T ) ψ N , T .

Jetzt handeln mit H ( T ) gibt

H ( T ) ψ ( T ) = ∑ N E N , T C N ( T ) ψ N , T   .

Allerdings wirkt nun die zeitliche Ableitung weiter ψ ( T ) ist komplizierter:

ich D ψ ( T ) D T ( T ) = ∑ N [ ich D C N D T ( T ) ψ N , T + C N ( T ) ich D ψ N , T D T ]   .

Sie können Projekt zu wissen ψ M , T , aber die Gleichung, die Sie erhalten, ist

ich D C M D T ( T ) = E M , T C M ( T ) − ∑ N C N ( T ) ⟨ ψ M , T , ich D ψ N , T D T ⟩   ;

Und das ist nicht mehr einfach zu lösen. Vielleicht interessiert Sie das Thema der adiabatischen Quantenmechanik , die im Grunde eine Störungstheorie ist, die nicht-diagonale Elemente der Matrix vernachlässigt K M N ( T ) = ⟨ ψ M , T , ich D ψ N , T D T ⟩ .

Ok das ergibt Sinn. Sakurai hat also den Staat erweitert | ψ ( T ) ⟩ in Bezug auf gleichzeitige Eigenzustände als | ψ ( T ) ⟩ = ∑ N C N ( T ) | ψ N , T ⟩ . Tut das T In | ψ ( T ) ⟩ immer noch nach Schrödingers Gleichung entwickeln? Wenn ja finde ich das C ( T ) = C ( 0 ) exp ⁡ ( − ich ∫ 0 T E N , T D T ) . Ich bin verwirrt zwischen der Verwendung des Parameters T , dh wo es als simultane, sich nicht entwickelnde Zeit oder wo es als sich entwickelnde Zeit zu behandeln ist.
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