Wie erfüllen Basis-Kets die Schrödinger-Gleichung im Schrödinger-Bild und warum entwickeln sie sich nicht mit der Zeit?

Da sich Basis-Kets nicht mit der Zeit weiterentwickeln$|a',t\rangle=|a'\rangle$

Dies ist eine Fehlinterpretation dieser Aussage. Wenn wir sagen, dass sich die Energie-Eigenbasis-Kets eines zeitunabhängigen Hamiltonoperators nicht mit der Zeit entwickeln, dann meinen wir damit, dass wenn$H|E\rangle = E|E\rangle$Dann

$$|\Psi_E(t)\rangle = e^{-iEt/\hbar}|E\rangle$$ ist eine Lösung der Schrödinger-Gleichung, die bei beginnt$|\Psi_E(0)\rangle = |E\rangle$und das ein inneres Einheitsprodukt mit seinem Anfangszustand beibehält, $$|\langle \Psi(0)|\Psi(t)\rangle| = |\langle E |\Psi(t)\rangle| = 1.$$ Der Phasenfaktor$e^{-iEt/\hbar}$ist absolut entscheidend für die Erfüllung der Schrödinger-Gleichung. Andererseits jederzeit$t$es fungiert als globaler Phasenfaktor, der für jede physikalische Observable irrelevant ist, weshalb es gerechtfertigt ist zu sagen, dass sich das Basis-Ket nicht „wirklich“ mit der Zeit entwickelt.

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Bei Ihrer zweiten Frage sind Ihre anfänglichen Manipulationen korrekt und lassen sich am besten im Formular verstehen

$$A\ U|a\rangle = U\ A|a\rangle = U\ a|a\rangle = a\ U|a\rangle$$ (wo ich die Primzahlen abgelegt habe, zu$A|a\rangle = a|a\rangle$, weil deine keinen Sinn ergeben hat). Mit anderen Worten, wenn Sie in einem Eigenvektor beginnen$|a\rangle$von$A$mit Eigenwert$a$Und$A$pendelt mit$H$, dann der zeitentwickelte Zustand$U(t)|a\rangle$wird immer ein Eigenzustand von sein$A$.

Nun, wenn Sie das wissen$A$in diesem Eigenraum nicht entartet ist, können Sie aus dieser Kombination schließen$|a\rangle$ist auch ein Eigenzustand von$H$und die Zeitentwicklung wird sich halten$U(t)|a\rangle$als Vielfaches von$|a\rangle$.

Andererseits ist es durchaus möglich z$A$dort einen entarteten Eigenraum zu haben, in welchem ​​Fall$U(t)|a\rangle$kann eine nichttriviale Zeitabhängigkeit haben. Wenn Sie ein explizites Beispiel wollen, versuchen Sie es

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ \text{under} \ H = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ mit$|a\rangle = (1,0,0)$.

Nur Kets, die physikalische Systeme darstellen ("Zustandsvektoren"), erfüllen die Schrödinger-Gleichung. Basis-Kets stellen keine physikalischen Systeme dar, sondern nur ein Koordinatensystem, also nicht.

Ihre Frage ist analog zu der Frage, warum die Koordinaten eines zufälligen Punktes im Raum die Hamilton- oder die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht erfüllen. Es gibt einfach nichts, was sich mit der Zeit entwickeln könnte.

Es ist wahr, dass sich Kets nicht mit der Zeit entwickeln (Kets sind keine Funktionen der Zeit). Allerdings ist der Zustandsvektor $|\psi(t)\rangle$entwickelt sich mit der Zeit (da wir uns im Schrödinger-Bild befinden).

Das heißt, ich denke, Sie können nicht zwischen dem Eigenket unterscheiden$|a'\rangle$des Betreibers$A$und der Zustandsvektor$|\psi(t)\rangle$Dies ist eine ket-bewertete Funktion der Zeit, die die Schrödinger-Gleichung erfüllt.

Unter der Annahme des Hamilton-Operators$H$zeitunabhängig ist und festlegt, dass der Zustandsvektor zur Zeit$t = 0$ist die ket$|\psi_0\rangle$, der Zustandsvektor zu jeder anderen Zeit$t$wird von gegeben

$$|\psi(t)\rangle = e^{-\frac{it}{\hbar}H}|\psi_0\rangle = |\psi_0\rangle - \frac{it}{\hbar}H|\psi_0\rangle + \cdots$$

Da im Allgemeinen$H|\psi_0\rangle$ist nicht proportional zu$|\psi_0\rangle$, dem Zustandsvektor zur Zeit$t \ne 0$ist in einem anderen Strahl als$|\psi_0\rangle$. In dem Fall jedoch$H|\psi_0\rangle = E|\psi_0\rangle$, wir haben

$$|\psi(t)\rangle = e^{-\frac{it}{\hbar}H}|\psi_0\rangle = e^{-\frac{iEt}{\hbar}}|\psi_0\rangle$$

und so bleibt der Zustandsvektor im Anfangsstrahl (da Zustände Strahlen sind , alle$e^{i\theta}|\psi_0\rangle$repräsentieren den gleichen Staat).

Zusammenfassend, wenn$|\psi_0\rangle = |a'\rangle$dann, es sei denn$A$pendelt mit$H$, der Zustandsvektor$|\psi(t)\rangle$wird sich mit der Zeit zu einem Ket in einem anderen Strahl entwickeln. Nochmal,$H$entwickelt das Ket nicht$|a'\rangle$sondern eher$H$entwickelt den Zustandsvektor$|\psi(t)\rangle$

Ich denke, es gibt eine Menge Verwirrung in dem, was Sie geschrieben haben. Die Schrödinger-Gleichung wird natürlich nicht durch die Eigenkets selbst erfüllt, sondern durch die Erweiterungskoeffizienten eines beliebigen Zustands, der auf der Basis von Eigenkets entwickelt wird. Die Eigenkets werden genau deshalb als zeitunabhängig definiert, weil für einen allgemeinen Zustand die Zeitabhängigkeit jedes Entwicklungskoeffizienten auf der Eigenket-Basis wirklich einfach ist. Um dies klarzustellen, für jeden Staat$|\psi\rangle$, nehmen Sie einen vollständigen Satz von Eigenkets$(|a_1\rangle,|a_2\rangle,|a_3\rangle,...)$, dann der Staat$|\psi\rangle$kann ausgedrückt werden als:

$$|\psi\rangle=\sum_n c_n(t)*|a_n\rangle$$

So$|\psi\rangle$ist eigentlich$|\psi(t)\rangle$, und es erfüllt die Schrödinger-Gleichung. Also wenn die$|a_n\rangle$die Eigenkets des Hamiltonoperators sind, dann ist die Zeitabhängigkeit der Entwicklungskoeffizienten ganz normal$e^{-i\frac {E_n}{\hbar}t}$, und die Erweiterung des Staates ist nur:

$$|\psi(t)\rangle=\sum_n c_n(0)*e^{-i\frac {E_n}{\hbar}t}*|a_n\rangle$$