Wahrscheinlichkeitsamplitude für Bewegung von xixix_i nach xfxfx_f im Heisenberg-Bild

In M. Nakaharas Buch Geometry, Topology and Physics auf Seite 19 die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die Bewegung eines Teilchens X ich zum Zeitpunkt T ich Zu X F zum Zeitpunkt T F ist gegeben als

(1) ⟨ X F , T F | X ich , T ich ⟩

wo die Heisenberg-Bildvektoren definiert sind

(2) X ^ ( T ich ) | X ich , T ich ⟩ = X ich | X ich , T ich ⟩

(und ähnlich für X F ) mit X ^ ( T ) ist der Positionsoperator.

ich habe nie ... gesehen ( 1 ) Vor. Ist das die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitsamplituden im Heisenberg-Bild? Warum sind die Zustände zeitabhängig?

Das brachte mich zum Stolpern, als ich es zum ersten Mal sah; | X , T ⟩ bedeutet den Heisenberg-Zustand, der ein Teilchen bei hat X zum Zeitpunkt T . Das heißt, es ist der Schrödinger-Staat, falls es ihn damals gegeben hat T = 0 , würde sich zu einem Teilchen bei entwickeln X zum Zeitpunkt T .
Um Kontakt mit der Ihnen bekannten Definition herzustellen, schreiben Sie diese Heisenberg-Zustände um als Schrödinger-Zustände bewertet bei T = 0 . Dann kann man zeigen, dass die Amplitude gleich ist ⟨ X F | U S ( T F , T ich ) | X ich ⟩ wobei alle Zustände hier Schrödinger-Zustände sind, die bekannt sein sollten.

Antworten (1)

I) Die Frage von OP (v1) scheint durch eine häufige Verwirrung angespornt zu sein: Der Heisenberg- Eigenzustand der momentanen Position | X , T 0 ⟩ H entwickelt sich nicht mit der Zeit T hängt aber von einem Zeitparameter ab T 0 . Im Detail,

(1) | X , T F ⟩ H   =   e ich H ^ Δ T / ℏ | X , T ich ⟩ H , Δ T   :=   T F − T ich ,

wobei wir der Einfachheit halber angenommen haben, dass der Hamiltonoperator H ^ hat keine explizite Zeitabhängigkeit.

II) Also

(2) K ( X F , T F ; X ich , T ich )   =   H ⟨ X F , T F | X ich , T ich ⟩ H   =   H ⟨ X F , T 0 | e − ich H ^ Δ T / ℏ | X ich , T 0 ⟩ H

ist die Amplitude für ein Teilchen, das von der Anfangsposition ausgeht X ich zum Anfangszeitpunkt T ich zur Endstellung X F zur letzten Zeit T F .

Normalerweise identifizieren wir das Schrödinger- und Heisenberg- Bild zu einem Referenzzeitpunkt T 0 , vgl. obigen Kommentar von Kevin Zhou. Die Amplitude (2) hängt nicht vom Referenzzeitparameter ab T 0 .

Wahrscheinlichkeitsamplitude für Bewegung von xixix_i nach xfxfx_f im Heisenberg-Bild
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