Was für ein mathematischer Operator ist die Aktion in der Quantenmechanik?

In der Quantenmechanik sind wir es gewohnt, an Zustände zu denken, die durch Vektoren in einem (möglicherweise unendlichdimensionalen, projektiven) Hilbert-Raum repräsentiert werden, der mit einem Skalarprodukt (z$L_2$Norm). Physikalische Observablen werden durch hermitische lineare Operatoren wie den Hamilton-Operator dargestellt. Im Prinzip könnte man den Lagrange-Operator wohl als Operator definieren, aber ich weiß nicht, wie ich diese Aussage quantifizieren soll. Mehr noch interessiert mich aber, was für einen Operator man sich unter der Aktion vorstellen kann,$S = \int dt \,L$, als seiend. Die Schrödinger-Gleichung sagt uns, dass der Hamilton-Operator der Generator der einheitlichen Zeitentwicklung ist, und es scheint, dass wir dann sagen könnten, dass der Informationsgehalt einer minimalen Quantenmechanik durch "QM" gegeben ist$\sim$Hilbertraum + Schrödinger-Gleichung". Auf dieser groben Basis kann man dann das Wegintegral definieren, woraus wir sehen, dass die Wirkung ziemlich natürlich entsteht, und danach kann man den "klassischen Grenzwert" nehmen.$\hbar \rightarrow 0$um das klassische Wirkungsprinzip durch ein Sattelpunktargument zu erhalten. Aber ich frage mich, wie man sich das Handeln im Kontext von QM vorstellen soll. Beispielsweise können wir eine Zustandssummenfunktion definieren, die einen thermischen Zustand gemäß beschreibt

$$Z \sim \mathrm{Tr}(e^{-\hat{H}/T})$$ und vielleicht kann man sich analog das Pfadintegral als seiend vorstellen $$Z \sim \mathrm{Tr}(e^{i \hat{S}/\hbar})$$ Aber$\hat{H}$ist ein linearer Operator in einem Vektorraum, während "$\hat{S}$" ist ein "Operator" in einem Raum von "Wegen" (kontinuierliche Folge von Zuständen in einem Hilbert-Raum?).

Ich frage mich, wie man das konkreter machen kann. Mir scheint, dass der grundlegende Unterschied in der Tatsache liegt, dass die Aktion ein Integral über die Zeit beinhaltet, während der Hamilton-Operator der Generator der Zeitentwicklung ist. Dies deutet darauf hin, dass man an denken könnte$\hat{H}$als in einer Art "Lügenalgebra" zu sein$S$ist in seiner "Lie-Gruppe", wenn ich einige Terminologie missbrauchen und die Konzepte etwas abstrahieren darf (Mein Verständnis dieser Themen ist immer noch etwas vage und unvollständig, wenn ich das richtig verstehe, die Zeitentwicklungsoperatoren$U(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}$wäre in der Lie-Gruppe generiert von$\hat{H}$. Was ist dann der Raum, in dem die Aktion lebt/wirkt?)