Ist es immer möglich, einen Operator in Form von Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren auszudrücken?

Question

Ist es immer möglich, einen Operator in Form von Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren auszudrücken?

zack

Ich beziehe mich auf "Path integral approach to birth-death processes on a lattice" , L. Peliti, J. Physique 46, 1469-1483 (1985), verfügbar unter: http://people.na.infn.it/ ~peliti/path.pdf

Der Artikel handelt von einer Umformulierung der Master-Gleichung für einen Markov-Prozess im Sinne des Pfad-Integral-Formalismus. Meine Frage bezieht sich jedoch hauptsächlich auf die Quantenmechanik.

Der Autor definiert einen Hilbert-Raum $\mathcal{H}$ , dessen orthogonale Basis durch gegeben ist $\mid n \rangle$ , $n \in \mathbb{N}$ , mit:

⟨ N ∣ M ⟩ = N! δ_{N, M}

$\langle n \mid m \rangle = n! \delta_{n,m}$

Die Erstellungs-/Vernichtungsoperatoren sind definiert auf $\mathcal{H}$ folgendermaßen:

A ∣ N ⟩ = N ∣ N - 1 ⟩

$a \mid n \rangle = n \mid n - 1 \rangle$

π ∣ N ⟩ =∣ N + 1 ⟩

$\pi \mid n \rangle = \mid n + 1 \rangle$

und sie sind gemäß dem gerade definierten Skalarprodukt leicht als Hermitesche Konjugierte des anderen zu erkennen.

Die Konventionen unterscheiden sich ein wenig von der Quantenmechanik, aber das ist für meine Frage nicht wirklich relevant. Der Autor impliziert, dass es möglich ist, jeden Operator umzuschreiben $O: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ nur in Bezug auf (Summen von Produkten) von Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren.

Diese Behauptung kann ich nicht belegen. Ich habe versucht, die Matrixelemente eines generischen Operators zu nehmen $O$ , und demonstrieren, dass alles in Bezug auf umgeschrieben werden kann $a$ Und $\pi$ aber eigentlich funktioniert das nicht.

Michael

Wenn Sie den generischen Operator schreiben

O = \sum_{n, m} o_{n, m} a^{† n} a^{m}

$O=\sum_{n,m} o_{n,m} a^{\dagger n} a^m$ und seine Matrixelemente berechnen, erhalten Sie ein unendliches lineares System. Sie müssen beweisen, dass dieses System lösbar ist. Beachten Sie, dass es Struktur hat, da jeder Begriff mit

n + m > i + j

$n+m>i+j$ trägt nicht dazu bei

i j

$ij$ Matrixelement. Daher würde ich eine induktive Strategie empfehlen, bei der die Gleichungen gruppiert werden

n + m = 0, 1, 2, \dots

$n+m=0,1,2,\ldots$ . Alles, was Sie tun müssen, ist zu beweisen, dass es genügend neue Koeffizienten gibt

o_{n, m}

$o_{n,m}$ bei jeder Bestellung, um die neuen Gleichungen zu lösen, die bei dieser Bestellung entstehen.

Trimok

Ausgehend von einem Ausdruck:

O = \sum_{m, n = 0}^{+ \infty} A_{m, n} Π^{m} a^{n}

$O = \sum_{m,n=0}^{+\infty} A_{m,n} \Pi^m a^n$ , wir bekommen :

O_{m^{'} n^{'}} = ⟨ m^{'} | O | n^{'} ⟩ = \sum_{m - n = m^{'} - n^{'}, n \leq n^{'}} \frac{n^{'}! m^{'}!}{n!} A_{m, n}

$O_{m' n'} = \langle m'|O|n' \rangle = \sum_{m-n=m'-n', n \leq n'} \frac{n'! m'!}{n!}A_{m,n}$ . Schließlich muss man das ausdrücken

A_{m, n}

$A_{m,n}$ in Funktion der

O_{m^{'} n^{'}}

$O_{m' n'}$ . Es lohnt sich damit anzufangen

n' = 0

$n′=0$ , Zunahme

m'

$m′$ bei fest

n'

$n′$ , dann erhöhen

n'

$n′$ , usw.

Antworten (1)

Ist es immer möglich, einen Operator in Form von Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren auszudrücken?

Wenn Sie den generischen Operator schreiben $O=\sum_{n,m} o_{n,m} a^{\dagger n} a^m$ und seine Matrixelemente berechnen, erhalten Sie ein unendliches lineares System. Sie müssen beweisen, dass dieses System lösbar ist. Beachten Sie, dass es Struktur hat, da jeder Begriff mit $n+m>i+j$ trägt nicht dazu bei $ij$ Matrixelement. Daher würde ich eine induktive Strategie empfehlen, bei der die Gleichungen gruppiert werden $n+m=0,1,2,\ldots$ . Alles, was Sie tun müssen, ist zu beweisen, dass es genügend neue Koeffizienten gibt $o_{n,m}$ bei jeder Bestellung, um die neuen Gleichungen zu lösen, die bei dieser Bestellung entstehen.
Ausgehend von einem Ausdruck: $O = \sum_{m,n=0}^{+\infty} A_{m,n} \Pi^m a^n$ , wir bekommen : $O_{m' n'} = \langle m'|O|n' \rangle = \sum_{m-n=m'-n', n \leq n'} \frac{n'! m'!}{n!}A_{m,n}$ . Schließlich muss man das ausdrücken $A_{m,n}$ in Funktion der $O_{m' n'}$ . Es lohnt sich damit anzufangen $n′=0$ , Zunahme $m′$ bei fest $n′$ , dann erhöhen $n′$ , usw.

QMechaniker · Answer 1

Lassen

[A, A^{†}] = 1,

$[a,a^{\dagger}]~=~1,$

und lass $|0\rangle$ sei der Vakuumzustand: $a|0\rangle=0$ . Definieren

| N ⟩ := \frac{1}{\sqrt{N!}} (A^{†})^{N} | 0 ⟩ .

$|n\rangle~:=~ \frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{\dagger})^n|0\rangle.$

Dann

\begin{aligned} A | N ⟩ = & \sqrt{N} | N - 1 ⟩, \\ A^{†} | N ⟩ = & \sqrt{N + 1} | N + 1 ⟩, \\ ⟨ N | M ⟩ = & δ_{N, M} . \end{aligned}

$\begin{align} a |n\rangle ~=~& \sqrt{n} |n-1\rangle, \cr a^{\dagger} |n\rangle ~=~& \sqrt{n+1} |n+1\rangle,\cr \langle n |m\rangle ~=~& \delta_{n,m}. \end{align}$

Betrachten Sie den entsprechenden Fockraum ${\cal H}$ . Ein beliebiger linearer Operator hat die Form

\begin{aligned} T = & \sum_{N, M \in N_{0}} | N ⟩ T_{N M} ⟨ M |, \\ T_{N M} := & ⟨ N | T | M ⟩ \in C, \end{aligned}

$\begin{align} T~=~& \sum_{n,m\in\mathbb{N}_0} |n\rangle T_{nm} \langle m|, \cr T_{nm}~:=~&\langle n|T |m\rangle~\in~ \mathbb{C},\end{align}$

es genügt also, die Operatoren der Form zu studieren $|n\rangle \langle m|$ . Es ist einfach, das zu sehen

| N ⟩ ⟨ M | = \sum_{k \in N_{0}} C_{k}^{N M} (A^{†})^{N + k} A^{M + k},

$|n\rangle \langle m|~=~\sum_{k\in\mathbb{N}_0} c^{nm}_k (a^{\dagger})^{n+k} a^{m+k},$

wo es eindeutige Koeffizienten gibt $c^{nm}_k\in \mathbb{C}$ , die rekursiv aus den Relationen gewonnen werden können

δ_{k}^{0} = \sum_{R = 0}^{k} C_{k - R}^{N M} \sqrt{\frac{(N + k)!}{R!} \frac{(M + k)!}{R!}} .

$\delta_k^0~=~\sum_{r=0}^k c^{nm}_{k-r} \sqrt{ \frac{(n+k)!}{r!} \frac{(m+k)!}{r!} }.$

Mir geht es um die Vollständigkeit der Grundlage. Wie können wir sicher sein, dass alle möglichen Zustände der Theorie als Linearkombination der |n> Zustände ausgedrückt werden können? btw danke für die antwort.
Wir können nicht. Vollständigkeit ist eine (implizite) Annahme.

Ist es immer möglich, einen Operator in Form von Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren auszudrücken?

zack

Michael

Trimok

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QMechaniker

M111

QMechaniker

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