Warum gehorcht die Dichtematrix ρρ\rho einer Heisenberg-Bewegungsgleichung mit falschem Vorzeichen?

$\rho_\psi$, die Dichtematrix, ist kein Observable/Operator, der sich im Sinne der Heisenbergschen Bewegungsgleichung entwickelt

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} A = - [H,A]$$ da es, wie Sie richtig schreiben, als Projektor auf Zustände definiert ist, ist es im Schrödinger-Bild zeitabhängig (da dort die Zustände, auf die es projiziert, zeitabhängig sind), und gehorcht der von Neumann- Gleichung $$\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\rho_\psi = [H,\rho_\psi]$$ als direkte Folge der Schrödinger-Gleichung. Die von Neumann-Gleichung unterscheidet sich von der Heisenberg-Bewegungsgleichung tatsächlich durch ein Vorzeichen, weil sie keine Gleichung im Heisenberg-Bild ist , sondern im Schrödinger-Bild.

Im Heisenberg-Bild sind die Zustände zeitunabhängig, die Dichtematrix entwickelt sich folglich nicht. Insbesondere gehorcht sie nicht der Heisenbergschen Bewegungsgleichung.

Sie können dies auch betrachten, indem Sie das berücksichtigen$\mathrm{Tr}(\rho_\psi A)$ist der Erwartungswert eines Operators für einen bestimmten Zustand. Es dauert zwei Eingänge - der "Zustandseingang"$\rho_\psi$und die "Bedienereingabe"$A$. In den Bildern von Schrödinger und Heisenberg sollte nur einer davon zeitabhängig sein, auch wenn beide wie Operatoren "aussehen".

Ihre Frage rührt anscheinend von einem mangelnden Verständnis der verschiedenen Bilder in der Quantenmechanik her, nämlich dem Schrödinger-Bild, dem Heisenberg-Bild und dem Wechselwirkungsbild.

Im Schrödinger-Bild entwickeln sich Zustände über die Zeit, während Observablen zeitunabhängig sind. Die Dichtematrix ist eine andere (allgemeinere) Art, den Zustandsvektor zu schreiben; seine zeitliche Entwicklung folgt aus der von-Neumann-Gleichung, die aus der Schrödinger-Gleichung und ihrer hermiteschen Konjugierten, gegeben durch, abgeleitet werden kann

$$\mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial t} | \psi(t) \rangle_\mathrm{S} = H | \psi \rangle_\mathrm{S},$$ Und $$-\mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial t} {}_{\mathrm S}\langle \psi(t)| = {}_{\mathrm S}\langle \psi(t)|H .$$ Nehmen Sie die Zeitableitung der Dichtematrix hier für einen reinen Zustand (Vorsicht, es gibt partielle Ableitungen, siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_%28Hamiltonian%29#Quantum_Liouville_equation ) und verwenden Sie die Produktregel , du erhältst $$\mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\rho_{\mathrm S} (t) = \mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial t} | \psi(t) \rangle_\mathrm{S} \langle \psi(t)| = \mathrm i \hbar \Bigl( \frac{\partial}{\partial t} | \psi(t) \rangle_\mathrm{S} \Bigr) {}_\mathrm{S} \langle \psi(t)| + \mathrm i \hbar | \psi(t) \rangle_\mathrm{S} \Bigl( \frac{\partial}{\partial t} {}_\mathrm{S} \langle \psi(t)|\Bigr) .$$ Jetzt können Sie die ziehen$\mathrm i \hbar$innerhalb der Klammer und ersetzen Sie jede der Klammern durch die entsprechenden linken Seiten der Schrödinger-Gleichung und ihrer Hermiteschen Konjugierten, um zu erhalten $$\mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial t} | \psi(t) \rangle_\mathrm{S} \langle \psi(t)| = H | \psi \rangle_\mathrm{S} \langle \psi(t)| - | \psi(t) \rangle_\mathrm{S} \langle \psi(t)|H = [H,\rho_{\mathrm S}(t)].$$

Im Heisenberg-Bild entwickeln sich die Observablen zeitlich, während die Zustände konstant sind. Die Dichtematrix kann in jedem dieser Bilder angegeben werden, wobei man den Erwartungswert einer Observablen nimmt$A$immer über$\mathrm{Tr}[\rho_{\mathrm S}(t) A_{\mathrm S}] = \mathrm{Tr}[\rho_{\mathrm H} A_{\mathrm H}(t)]$. Hier$\mathrm S$Und$\mathrm H$bezeichnen das Schrödinger- und das Heisenberg-Bild. Bitte beachte, dass

$$\rho_{\mathrm S}(0) = \rho_{\mathrm H} \text{ and } A_{\mathrm H} (0) = A_{\mathrm S} .$$

Durch die Verwendung des unitären Zeitentwicklungsoperators können wir die Äquivalenz der Bilder recht einfach für die Dichtematrix zeigen. Der unitäre Evolutionsoperator ist gegeben (für zeitunabhängigen Hamiltonoperator$H$)

$$U(t) = \mathrm e^{-\mathrm i H t/\hbar} .$$ Die Dichtematrix zur Zeit$t$ist dann im Schrödinger-Bild durch gegeben $$\rho_\mathrm{S} (t) = U(t) \rho_{\mathrm S} (0) U^\dagger (t) ,$$ während sich die Operatoren im Heisenberg-Bild als entwickeln $$A_\mathrm{H} (t) = U^\dagger(t) A_{\mathrm H} (0) U (t) .$$

Wir finden also für den Erwartungswert für das Observable$A$die folgende:

$$\langle A \rangle (t) = \mathrm{Tr}[\rho_{\mathrm S}(t) A_{\mathrm S}] = \mathrm{Tr} [ U(t) \rho_{\mathrm S}(0) U^\dagger (t) A_{\mathrm S} ]$$ im Schrödinger-Bild. Wir können jetzt sehr einfach auf das Heisenberg-Bild umschalten, indem wir die zyklische Eigenschaft der Spur verwenden, dh $$\mathrm{Tr} [ABC] = \mathrm{Tr} [BCA] = \mathrm{Tr} [CAB] ,$$ indem wir den ersten einheitlichen Operator bis zum Ende durchlaufen, so erhalten wir $$\langle A \rangle (t) = \mathrm{Tr} [ \rho_{\mathrm S}(0) U^\dagger (t) A_{\mathrm S} U(t)] .$$ Verwenden Sie die Äquivalenz der beiden Bilder bei$t=0$, können wir dies reqrite als $$\langle A \rangle (t) = \mathrm{Tr} [ \rho_{\mathrm H} U^\dagger (t) A_{\mathrm H}(0) U(t)] = \mathrm{Tr} [ \rho_{\mathrm H} A_{\mathrm H}(t)].$$

Tatsächlich können Sie Dualität verwenden:

Die Normalzustände der Quantenmechanik sind Objekte des (eindeutigen) Präduals der von Neumann-Algebra der Quantenobservablen.

Anhand eines konkreten Beispiels: Wenn die Algebra der Observablen die beschränkten Operatoren auf einem Hilbert-Raum sind, sind die Prädualisten die Spurklassenoperatoren. Von ihnen sind die normalen Zustände diejenigen, die positiv, selbstadjungiert und von der Spurnorm sind.

Es ist dann klar, dass durch gegenseitige Dualität die Evolution von Observablen/Zuständen die Evolution von Zuständen/Observablen induziert; und das berücksichtigt das "Minuszeichen" im Generator, das zwischen den beiden unterschiedlich ist.