Staatszerfall im Heisenberg-Bild

Nun, ich denke, Sie haben die Antwort selbst gesagt, als Sie die Worte "Projektionsoperator" benutzten. Im Heisenberg-Bild werden die Operatoren zum Zeitpunkt des Zusammenbruchs in einen Unterraum projiziert. Mit anderen Worten, der Operator „kollabiert“, indem er ein Projektionsstück aufnimmt, das den unphysischen Teil des Zustands tötet.

Vergessen Sie Bilder für eine Sekunde, das Physische ist das vollständige Matrixelement

$$\begin{equation} \langle \psi,t_1 | U(t_1,t_2) \mathcal{O}(t_2) U(t_2,t_1) | \psi,t_1 \rangle \end{equation}$$

Das Wissen über den Hamiltonian ist im Zeitentwicklungsoperator vergraben$U$.

Das Schrödinger-Bild läuft auf eine Gruppierung hinaus$U$mit dem Staat so dass$|\psi(t)\rangle =U(t,t_*)|\psi(t_*)\rangle$, das Heisenberg-Bild läuft auf eine Gruppierung hinaus$U$mit dem Betreiber so dass$\mathcal{O}(t)=U(t,t_*)\mathcal{O}(t_*)U(t_*,t)$. Dies ist eindeutig eine künstliche Trennung, und nichts kann jemals von Ihrer Bildwahl abhängen: Wenn Sie die Dinge in Bezug auf das vollständige Matrixelement ausdrücken, läuft der Unterschied zwischen den Bildern immer auf eine unterschiedliche Art der Gruppierung von Begriffen hinaus.

Wie beschreiben wir den Zusammenbruch? Es gibt eine besondere Zeit$t_c$, die Zeit des Zusammenbruchs, zu der etwas Uneinheitliches passiert. Wir können nicht verwenden$U$Vergangenheit zu entwickeln$t_c$.

Oder anders gesagt, die Beziehung

$$\begin{equation} U(t_2,t_1)=U(t_2,t_c)U(t_c,t_1) \end{equation}$$ gilt nicht mehr für $t_2>t_c>t_1$. Wir müssen einen Projektionsoperator einbeziehen, wie Sie in Ihrer Frage sagten: $$\begin{equation} U(t_2,t_1)=U(t_2,t_c)N_c P_c U(t_c,t_1) \end{equation}$$ wo $P_c$ist der Operator, der uns auf den kollabierten Subraum projiziert, und wo $N_c$ist ein Normalisierungsfaktor, damit der Zustand nach dem Kollaps korrekt normalisiert wird. Der Projektionsoperator wird hermitesch und erfüllt $P_c^2=P_c$, obwohl der vollständige Operator, der angewendet wird, bei $t_c$, nämlich die Kombination $N_c P_c$, ist kein Projektionsoperator.

Nehmen wir also an, wir wollen das physikalische Matrixelement auswerten, wir müssen diesen Projektionsoperator einbeziehen

$$\begin{equation} \langle \psi,t_1 | U(t_1,t_c) N_c^* P_c U(t_c,t_2) \mathcal{O}(t_2) U(t_2,t_c) N_c P_c U(t_c,t_1) | \psi,t_1 \rangle \end{equation}$$

Also haben wir wieder die Wahl, wie wir Dinge gruppieren. Wir könnten die Dinge so wie Schrödinger gruppieren

$$\begin{array} \ |\psi(t_c+\epsilon)\rangle &=& N_c U(t_c+\epsilon,t_c)P_c U(t_c,t_1)|\psi,t_1\rangle \\ & =& N_c P_c |\psi,t_c\rangle + O(\epsilon) \end{array}$$

Das ist der „Staatszusammenbruch“. Bei$t_c$der Zustand ändert sich so, dass er nach unten auf einen Unterraum projiziert wird.

Oder wir könnten die Dinge auf Heisenberg-Weise gruppieren, so dass

$$\begin{array} \ \mathcal{O}(t_c+\epsilon) &=& U(t_c+\epsilon,t_c) N_c^* P_c U(t_c,t_1) \mathcal{O(t_1)} U(t_1,t_c)N_c P_c U(t_c,t_c+\epsilon)\\ &=& |N_c|^2 P_c \mathcal{O}(t_c) P_c + O(\epsilon) \end{array}$$

Dies ist "der Operator, der auf einen Unterraum projiziert wird". Der Zustand ist derselbe, aber der Operator enthält jetzt ein Projektionsstück, das den Teil des Zustands aufhebt, der nicht mehr physisch ist.

EDIT # 1: Ich sagte vorher$U(t_2,t_1)=U(t_2,t_c)P_c U(t_c,t_1)$, was falsch ist. Der grundlegende Punkt steht immer noch, aber die Mathematik war technisch falsch.

Hoppla! Ich hatte beim ersten Mal recht. Danke an Bruce Connor, der mich dazu gebracht hat, diesen Punkt zu überdenken. Ich war verwirrt, weil ich dachte, ich wollte die Transformationsregel$P_c U P_c$, so würden Sie den Zeitentwicklungsoperator auf den kollabierten Unterraum projizieren. Aber das wollen wir hier nicht: Der Zeitentwicklungsoperator ist etwas Besonderes. Der Punkt ist, dass Sie auf den Unterraum (z. B. einen Positionseigenzustand) bei projizieren$t_c$, dann entwickelst du dich von dort aus normal weiter. Insbesondere darfst du dich aus dem Unterraum heraus entwickeln. Zum Beispiel, nachdem wir ein Teilchen an Position beobachtet haben$x$dem Teilchen wird erlaubt, eine Wahrscheinlichkeit zu entwickeln, bei zu sein$x'$. Sie wollen die Evolution nicht dazu zwingen, im Subraum zu bleiben, das ist das zweite$P_c$hätte es getan.

BEARBEITUNG Nr. 2: Entschuldigung für all die Bearbeitungen, dies ist etwas subtiler, um genau richtig zu werden, als ich ursprünglich dachte. Sie projizieren den Zustand nicht nur auf einen Unterraum, Sie projizieren den Zustand und skalieren ihn dann neu, damit er die richtige Normalisierung hat.

Ich glaube, Sie haben das Schrödinger-Bild falsch ausgelegt. Die Bilder von Schrödinger und Heisenberg sind physikalische Theorien, die überprüfbare Vorhersagen treffen, streng mathematisch äquivalent und einheitlich sind. Keine der Theorien sagt etwas über den Kollaps der Wellenfunktion aus.

Der Kollaps (der Wellenfunktion oder eines Operators) ist ein Merkmal einer bestimmten Interpretation der Quantenmechanik (der Kopenhagener Interpretation, CI). Das CI ist, wie andere Interpretationen der Quantenmechanik, keine physikalische Theorie und macht keine überprüfbaren Vorhersagen. Das CI bezieht sich nicht auf ein bestimmtes Bild der Quantenmechanik.

Zwischen dem Schrödinger- und dem Heisenberg-Bild ist letzteres dasjenige, das am direktesten mit der Dynamik in der Form verbunden ist, in der Sie es gewohnt sind, mit den dynamischen Gleichungen, die die verschiedenen Größen regeln; seien es gewöhnliche Bewegungsdifferentialgleichungen oder partielle Differentialgleichungen für Felder. In der Quantentheorie, im Heisenberg-Bild, gelten die gleichen Gleichungen für die quantisierten Versionen derselben – bis hin zur Mehrdeutigkeit der Anordnung von Operatoren, während der Zustand zu einer zeitlosen Bezeichnung einer gesamten Geschichte wird, anstatt die eines Systems und seines Fortschreitens in der Zeit .

Um Ihre Frage so direkt wie möglich zu beantworten, muss zunächst klargestellt werden, dass der Wellenfunktionsvektor |ψ> nicht der Zustand ist, sondern besser als "Quadratwurzel" des Zustands angesehen wird. Neben anderen Problemen hat es sowohl Phasen- als auch Normalisierungsmehrdeutigkeit: verschiedene Neuskalierungen ungleich Null und verschiedene Phasen ergeben denselben Zustand. Der beste Weg, damit umzugehen und die Mehrdeutigkeit zu beseitigen, besteht darin, sich stattdessen auf W = |ψ><ψ|/<ψ|ψ> als Zustand zu beziehen.

Dies sind reine Zustände. Eine Mischung solcher Zustände, die zueinander orthogonalen Vektoren entsprechen, mit nicht negativen Mischungskoeffizienten, die sich zu 1 addieren, ergibt einen gemischten Zustand. Es können allgemeinere gemischte Zustände in Betracht gezogen werden, die eher kontinuierliche lineare Kombinationen reiner Zustände als diskrete Summen sind. Beispiel: W _C = p |0><0| + q |1><1| ist ein klassisches Bit (ein gemischter Zustand), während W _Q = (√p |0> + √q exp(iφ) |1>)(√p <0| + √q exp(iφ) <1|) = W _C + √(pq) (exp(iφ) |0><1| + exp(-iφ) |1><0|) ist ein Quantenbit, also ein reiner Zustand. Der Zustand ½ W _C + ½ W _Q wäre dann 50 % rein; Die Reinheit kann also zwischen 0 und 100 % liegen.

Eine physikalische Größe A wird, wenn sie quantisiert wird, zu einem Operator Â, der eine Zerlegung der Form  = Σ _a a P _a in eine lineare Kombination von Projektionsoperatoren P _a und Eigenwerten a hat. Die Wirkung der Projektion P _a |ψ> besteht darin, |ψ> nur auf die Summe seiner a-Eigenvektorkomponenten zu reduzieren; indem alle anderen Eigenvektoren auf Null gesetzt werden - es projiziert |ψ> auf den Eigenraum des Werts (a) für den Operator Â. Da die Eigenunterräume für |ψ> den gesamten Raum aufspannen, wird auch angenommen, dass sich die Projektionen zu 1 addieren: Σ _a P _a = 1.

Es können allgemeinere Operatoren in Betracht gezogen werden, die Spektren aufweisen, die kontinuierlich oder gemischt kontinuierlich/diskret sind. Es wird kein Licht auf sie werfen, sie hier zu betrachten, also werde ich nur bei dem einfacheren Fall von diskreten Spektren bleiben.

Die Bornsche Regel besagt, dass das Ergebnis der Anwendung der Messung für die Größe A ein Quantenereignis ist, das den Zustand |ψ > mit der Wahrscheinlichkeit |P _a |ψ>| in den Zustand P _{a |ψ> reduziert} ² /<ψ|ψ> und dass der durch das Ereignis gemessene Wert (a) ist.

Umformuliert besagt die Regel, dass der Zustand W = |ψ><ψ|/<ψ|ψ> zu P _a |ψ><ψ|P _a ^† /<ψ|P _a ^† P _a |ψ> = P _a wird |ψ><ψ|P _a /<ψ|P _a |ψ> ... wobei letztere Gleichheit gilt, da P _a ^† = P _a = P _a ² für Projektionsoperatoren gilt. Es besagt, dass dies mit der Wahrscheinlichkeit |P _a |ψ>| geschieht ² /<ψ|ψ> = <ψ|P _a |ψ>/<ψ|ψ>.

Führt man den „Trace“-Operator ein und definiert ihn durch die Eigenschaft Tr(A|ψ><ψ|B) = <ψ|BA|ψ>, dann kann die obige Reduktion umformuliert werden als W → P _a WP _a /Tr(WP _a ) mit Wahrscheinlichkeit Tr(WP _a ).

Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu behandeln, je nachdem, was Sie unter einem gemischten Zustand verstehen. Wenn ein Mischzustand W = p W₀ + q W₁ (p,q ≥ 0, p + q = 1) steht für „W₀ mit Wahrscheinlichkeit p, W₁ mit Wahrscheinlichkeit q“ (rekursiv angewendet auf W₀ und W₁, falls es sich auch um Mischzustände handelt ) dann kann die gesamte Reduktion selbst kurz zusammengefasst werden als: W → W _A ≡ Σ _a Tr(WP _a ) × P _a WP _a /Tr(WP _a ) = Σ _a P _a WP _a .

Somit erzeugt jedes Quantenereignis eine Änderung der Form W → W _A = Σ _a P _a WP _a , wobei A die entsprechende Größe ist, die von diesem Ereignis gemessen wird.

Beachten Sie, dass dies korrekt normalisiert wird, da Tr(W _A ) = Σ _a Tr(WP _a ) = Tr(W Σ _a P _a ) = Tr(W) = 1.

Die andere Möglichkeit, einen gemischten Zustand als eigenständiges Ding zu betrachten, sodass der Übergang zwei Schritte hat: Der erste erzeugt den gemischten Zustand selbst und der zweite erzeugt eine seiner reinen Zustandskomponenten mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit. Ich persönlich denke, dass diese Betrachtungsweise unnötige Redundanz einführt, daher bleibe ich bei der ersten Interpretation.

Wird anschließend eine zweite Größe C gemessen, deren quantisierte Form Ĉ sich in Ĉ = Σ _c P' _c zerlegt , so ergibt sich eine Reduktion auf den Zustand W _A → W _AC = Σ _c P' _c W _A P' _c = Σ _a,c P' _c P _ein WP _ein P' _c .

Dies kann abgeschlossen werden, indem der zeitordnende Pseudooperator T[] und sein duales T'[] eingeführt werden, definiert mit den Eigenschaften T[UV] = UV, wenn U vor V auftritt, VU, wenn V nach U auftritt; und T'[UV] = UV wenn U nach V auftritt, T'[UV] = VU wenn U vor V auftritt. Dann kannst du die Reduktion schreiben als W → W _AC = Σ _a,c T'[P _a P ' _c ] WT[P _a P' _c ].

Die Verallgemeinerung auf mehr als 2 Quantenereignisse sollte mittlerweile ziemlich offensichtlich sein.

Verallgemeinert auf die Feldtheorie ist jeder Operator nicht mehr einer bestimmten Zeit, sondern einem bestimmten Raumzeitpunkt zugeordnet. Die Born-Regel gilt dann für eine endliche Menge von Quantenereignissen, die sich über einer Punktwolke in einem kompakten Bereich der Raumzeit befinden. Wenn die Ereignisse den Messungen von A = A ₁ , A ₂ , ..., A _n entsprechen , dann ist der Übergang W → W _A = Σ _a T'[P _a ] ​​WT[P _a ], wobei ich bin Schreiben der Projektionen präziser als P _a = P _{a 1} ... P _{a n} .

Tatsächlich führt die Born-Regel dann eine Raum-Zeit-Entwicklung des Zustands ein, obwohl die Zeit aus dem Bild entfernt wird, indem Operatoren (anstelle von Wellenvektoren) dynamisch gemacht werden. Wenn Sie die gesamte Raumzeit als von einer (möglicherweise unendlichen) Punktwolke bevölkert behandeln, wobei jeder Punkt mit einem Quantenereignis verbunden ist, dann wird jeder Zustand W mit einer Unterteilung dieser Punktwolke in eine „Vorher-Menge“ und „ after set", mit der Eigenschaft, dass keiner der Punkte im after set eine zukünftige zeitähnliche oder Nullkurve haben kann, die zu einem der Punkte im "before set" führt. Die in der Before-Gruppe sind diejenigen, für die angenommen werden kann, dass sie bereits einer Born-Reduktion unterzogen wurden, während die in der After-Gruppe diejenigen sind, für die sie keine solche Reduktion erfahren haben.

Dann kann eine effektive Born-Evolution definiert werden, die einen Übergang von zwei beliebigen Zuständen erzeugt, deren Partitionen an allen bis auf eine endliche Anzahl von Punkten in der Punktwolke übereinstimmen, immer dann, wenn die Vorher-Menge des einen Zustands (der "spätere" Zustand) das Vorher enthält Menge des anderen Zustands (des "früheren" Zustands). Dann wird die Born-Regel angewendet, indem die Quantenereignisse (und ihre zugehörigen Operatoren) genommen werden, bei denen sich die beiden Zustände nicht einig sind, ob sie davor oder danach liegen. Der Übergang erfolgt dann vom früheren Zustand zum späteren Zustand durch Anwendung der eben beschriebenen Reduktion.

Insgesamt also: So kommt man einer einfachen Übersetzung der Born-Regel vom Schrödinger-Bild zum Heisenberg-Bild am nächsten. Der Formalismus, dem dies am ähnlichsten ist, ist das, was als konsistente Historien bekannt ist ( https://en.wikipedia.org/wiki/Consistent_histories ); dessen Mathematik ähnlich ist. Sie können also möglicherweise einige ihrer Formeln ausschlachten und sie hier anwenden, nachdem Sie all das zusätzliche Kleingedruckte entfernt haben, das sie ihnen beifügen.

Eine interessante verwandte Referenz, die ich ein paar Tage vor diesem https://arxiv.org/pdf/1308.5290.pdf gefunden habe, behandelt die Born-Regel auf ähnliche Weise, bringt aber auch POVMs ins Bild. In den Abschnitten 3 und 6 werden die Themen behandelt.

Im Heisenberg-Bild erfolgt die korrekte Beschreibung eines dissipativen Prozesses (von dem der Kollaps nur das einfachste Modell ist) durch einen quantenstochastischen Prozess. Hierzu gibt es eine umfangreiche Literatur. Richtig gestaltet bewahren diese Prozesse die Kommutierungsbeziehungen zwischen wichtigen Observablen während der Zeitentwicklung, was eine wesentliche Konsistenzanforderung ist.

Beachten Sie, dass der Kollaps eine sehr vereinfachte Beschreibung eines Messvorgangs ist und dass die meisten Messungen dadurch nicht gut beschrieben werden. Für eine realistischere Modellierung verwendet man normalerweise eine Dichtematrix (von Neumann)-Darstellung und beschreibt die Entwicklung in Form einer Lindblad-Gleichung. Für das Analogon im Heisenberg-Bild siehe. B. ein Artikel von Accardi et al., A stochastic golden rule and quantum Langevin equation for the low density limit .

Wie Sie sagen, entwickeln sich im Heisenberg-Bild die Operatoren, und daher entwickeln sich auch ihre Eigenvektoren und Eigenwerte. Aber das grundlegende Verfahren, wie eine (von Neumann-)Messung durchgeführt wird, bleibt dasselbe wie im Schrödinger-Bild. Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Wert der Observablen (der ein Eigenwert des Operators sein muss) zu messen, ergibt sich aus der Projektion des (nun konstanten) Zustandsvektors auf den (nun sich entwickelnden) Eigenvektor.

Zusammenfassend haben beide Bilder beide Konzepte. Der Unterschied besteht nur darin, welcher Teil der Projektion, der Eigenvektor oder der Zustand, sich mit der Zeit ändert.

In der Schrödinger-Darstellung ist der „Pseudo-Kollaps“:

$$\sum_i~ a_i|\psi_i(t)\rangle \rightarrow ~~|\psi_o(t)\rangle$$

In der Heisenberg-Darstellung lautet der "Pseudo-Kollaps":

$$\sum_i~ a_i|\psi_i\rangle \rightarrow ~~|\psi_o\rangle$$