Gibt es eine Vorstellung von einem "reduzierten" Hamilton-Operator?

Question

Gibt es eine Vorstellung von einem "reduzierten" Hamilton-Operator?

FreundlichLagrange

Ähnlich wie wir eine Dichtematrix konstruieren können $\rho_A$ die Zustände in einem Subsystem darstellt $A$ durch Durchführen einer Teilverfolgung an $\rho$ (die vollständige Dichtematrix des gesamten Subsystems (z $AB$ )), gibt es eine ähnliche Operation, die wir mit dem Hamiltonian durchführen können $H$ ?

In Betracht ziehen

ich \frac{D}{D T} ρ_{B} = ich \frac{D}{D T} {Tr}_{A} (ρ) = {Tr}_{A} ([H, ρ]),

$i\frac{d}{dt} \rho_B = i\frac{d}{dt} \text{Tr}_A (\rho) = \text{Tr}_A ([H,\rho]),$ wobei der letzte Schritt durch Linearität wahr ist. Wenn wir der Einfachheit halber in einem zweigeteilten System sind, so dass

H = H_{A} \otimes H_{B}

$H=H_A \otimes H_B$ dann können wir über dem Ausdruck weiter massieren

\begin{aligned} ich \frac{D}{D T} ρ_{B} & = {Tr}_{A} ([H, ρ]) \\ = \sum_{ich} (⟨ ϕ_{ich} |_{A} \otimes 1_{B}) [H_{A} \otimes H_{B}, ρ] (| ϕ_{ich} ⟩_{A} \otimes 1_{B}) \\ = \sum_{ich} E_{ich}^{A} \underset{Missbrauch der Notation}{\underset{⏟}{(1_{A} \otimes H_{B})}} (⟨ ϕ_{ich} |_{A} \otimes 1_{B}) ρ (| ϕ_{ich} ⟩_{A} \otimes 1_{B}) \\ - E_{ich}^{A} (⟨ ϕ_{ich} |_{A} \otimes 1_{B}) ρ (| ϕ_{ich} ⟩_{A} \otimes 1_{B}) \underset{Missbrauch der Notation}{\underset{⏟}{(1_{A} \otimes H_{B})}} \\ = [H_{B}, \sum_{ich} E_{ich}^{A} (⟨ ϕ_{ich} |_{A} \otimes 1_{B}) ρ (| ϕ_{ich} ⟩_{A} \otimes 1_{B})] \\ = [H_{B}, ρ_{B}], \end{aligned}

$\begin{align} i\frac{d}{dt} \rho_B & =\text{Tr}_A ([H,\rho]) \\ & = \sum_i (\langle \phi_i|_A\otimes 1_B)[H_A \otimes H_B,\rho](| \phi_i \rangle _A\otimes 1_B) \\ & =\sum_i E_i^A\underbrace{( 1_A \otimes H_B)}_\text{abuse of notation}(\langle \phi_i|_A\otimes 1_B)\rho(| \phi_i \rangle _A\otimes 1_B) \\ & \qquad -E_i^A(\langle \phi_i|_A\otimes 1_B)\rho(| \phi_i \rangle _A\otimes 1_B)\underbrace{( 1_A \otimes H_B)}_\text{abuse of notation} \\ & =\left[H_B, \sum_iE_i^A(\langle \phi_i|_A\otimes 1_B)\rho(| \phi_i \rangle _A\otimes 1_B)\right] \\ & = [H_B,\rho_B], \end{align}$ wo der Missbrauch der Notation ist, dass die Identität jetzt ist

1_{A} : H^{*} \to H^{*}

$1_A:\mathcal{H}^* \rightarrow \mathcal{H}^*$ und nicht

1_{A} : H \to H

$1_A:\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ ,

| ϕ_{i} ⟩_{A}

$|\phi_i\rangle_A$ ist das Eigenket von

H_{A}

$H_A$ mit Eigenenergie

E_{i}^{A}

$E_i^A$ und in der letzten Zeile habe ich die Basis der Teilspur neu definiert.

Diese Berechnung impliziert dies, wenn sie korrekt ist $H_B$ liegt der "reduzierte" Hamiltonoperator an $B$ , ist das richtig?

Für mich ist das nicht trivial, da es Wechselwirkungen zwischen ihnen geben könnte $A$ Und $B$ (auch dass es nicht darauf ankommt, warum ist für mich nicht trivial).

Durch Symmetrie

\sum_{i} E_{i}^{A} ⟨ ϕ_{i} |_{A} ρ | ϕ_{i} ⟩_{A} \neq {T r}_{A} ρ

$\sum_i E_i^A \langle \phi_i |_A \rho |\phi_i \rangle_A \ne \mathrm{Tr}_A \rho$ . Es gibt ein Extra

E^{A}

$E^A$ innerhalb der Summe.

J. Murray

Relevantes Wiki: Offene Quantensysteme

FreundlichLagrange

@BySymmetry Kannst du nicht definieren

| {\tilde{ϕ}}_{i} ⟩_{A} := \sqrt{E_{i}^{A}} | ϕ_{i} ⟩_{A}

$| \tilde{\phi}_i \rangle_A := \sqrt{E_i^A}| \phi_i \rangle_A$ so dass

\sum_{i} E_{i}^{A} ⟨ ϕ_{i} |_{A} ρ | ϕ_{i} ⟩_{A} = \sum_{i} ⟨ {\tilde{ϕ}}_{i} |_{A} ρ | {\tilde{ϕ}}_{i} ⟩_{A} = {Tr}_{A} ρ

$\sum_i E_i^A \langle \phi_i |_A \rho |\phi_i \rangle_A = \sum_i \langle \tilde{\phi}_i |_A \rho | \tilde{\phi}_i \rangle_A = \text{Tr}_A \rho$ ?

J. Murray

^ Die Spur wird in Bezug auf eine orthonormale Basis genommen, also nein. Die Faktoren von

E_{i}

$E_i$ machen Sie deutlich, dass die Summe, die Sie geschrieben haben, nicht die Spur ist

A

$A$ , also sollten Sie das sicherlich nicht mit algebraischer Manipulation unter den Teppich kehren können, oder?

FreundlichLagrange

Ich dachte, die Spur sei bei jeder Änderung der Basis durch die zyklische Eigenschaft der Spur unveränderlich. Was übersehe ich?

FreundlichLagrange

Angesichts der Tatsache, dass mein obiges Argument falsch ist, was sollte das Äquivalent eines "reduzierten" Hamilton-Operators sein?

J. Murray

Die Spur ist unveränderlich, aber diese Formel ist es nicht. Hinweis für einen allgemeinen Basiswechsel

| ϕ ⟩ \mapsto P | ϕ ⟩

$|\phi\rangle \mapsto P|\phi\rangle$ Und

A \mapsto P A P^{- 1}

$A\mapsto PAP^{-1}$ , wir haben

\sum ⟨ ϕ_{i} | A | ϕ_{i} ⟩ \mapsto \sum ⟨ ϕ_{i} | P^{†} (P A P^{- 1}) P | ϕ_{i} ⟩ \neq \sum ⟨ ϕ_{i} | A | ϕ_{i} ⟩

$\sum \langle \phi_i|A|\phi_i\rangle \mapsto \sum \langle \phi_i|P^\dagger \big(P A P^{-1}\big)P|\phi_i\rangle \neq \sum \langle\phi_i|A|\phi_i\rangle$ es sei denn

P

$P$ ist einheitlich. Leider fühle ich mich mit offenen Quantensystemen nicht wohl genug, um hier eine gute Antwort zu geben, aber im Allgemeinen die Entwicklung von

ρ_{B}

$\rho_B$ wird nicht einheitlich sein und ganz anders aussehen - siehe den Link, den ich oben gepostet habe.

FreundlichLagrange

Ich fand die folgende Referenz sehr nützlich: MIT Open Quantum Systems

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Gibt es eine Vorstellung von einem "reduzierten" Hamilton-Operator?

$\sum_i E_i^A \langle \phi_i |_A \rho |\phi_i \rangle_A \ne \mathrm{Tr}_A \rho$ . Es gibt ein Extra $E^A$ innerhalb der Summe.
@BySymmetry Kannst du nicht definieren $| \tilde{\phi}_i \rangle_A := \sqrt{E_i^A}| \phi_i \rangle_A$ so dass $\sum_i E_i^A \langle \phi_i |_A \rho |\phi_i \rangle_A = \sum_i \langle \tilde{\phi}_i |_A \rho | \tilde{\phi}_i \rangle_A = \text{Tr}_A \rho$ ?
^ Die Spur wird in Bezug auf eine orthonormale Basis genommen, also nein. Die Faktoren von $E_i$ machen Sie deutlich, dass die Summe, die Sie geschrieben haben, nicht die Spur ist $A$ , also sollten Sie das sicherlich nicht mit algebraischer Manipulation unter den Teppich kehren können, oder?
Ich dachte, die Spur sei bei jeder Änderung der Basis durch die zyklische Eigenschaft der Spur unveränderlich. Was übersehe ich?
Angesichts der Tatsache, dass mein obiges Argument falsch ist, was sollte das Äquivalent eines "reduzierten" Hamilton-Operators sein?
Die Spur ist unveränderlich, aber diese Formel ist es nicht. Hinweis für einen allgemeinen Basiswechsel $|\phi\rangle \mapsto P|\phi\rangle$ Und $A\mapsto PAP^{-1}$ , wir haben $\sum \langle \phi_i|A|\phi_i\rangle \mapsto \sum \langle \phi_i|P^\dagger \big(P A P^{-1}\big)P|\phi_i\rangle \neq \sum \langle\phi_i|A|\phi_i\rangle$ es sei denn $P$ ist einheitlich. Leider fühle ich mich mit offenen Quantensystemen nicht wohl genug, um hier eine gute Antwort zu geben, aber im Allgemeinen die Entwicklung von $\rho_B$ wird nicht einheitlich sein und ganz anders aussehen - siehe den Link, den ich oben gepostet habe.
Ich fand die folgende Referenz sehr nützlich: MIT Open Quantum Systems

Durch Symmetrie · Answer 1

Wie in den Kommentaren besprochen wurde, besteht das Problem mit dem, was Sie geschrieben haben, darin, dass es keine solche Basisänderung gibt

\sum_{ich} E_{ich}^{A} ⟨ ϕ_{ich} |_{A} ρ | ϕ_{ich} ⟩_{A} = {T R}_{A} ρ

$\sum_i E_i^A \langle\phi_i|_A \rho |\phi_i\rangle_A = \mathrm{Tr}_A \rho$

Allgemeiner besteht das Problem bei der Vorstellung eines reduzierten Hamilton-Operators darin, dass das reduzierte System zu einem bestimmten Zeitpunkt typischerweise nicht genügend Informationen enthält, um die zukünftige Dynamik des Systems zu reproduzieren. Wenn ich nicht weiß, was der Teil tut, den ich verfolgt habe, kann ich nicht vorhersagen, welche Auswirkungen er auf das haben wird, was übrig bleibt.

Als einfachste Folge kann dies einen Verlust an Einheitlichkeit in der Zeitentwicklung haben. Wenn Informationen über das System an seine Umgebung verloren gehen, wird die Matrix reduzierter Dichte im Allgemeinen mit der Zeit gemischter und weniger rein. Dies kann nicht mit einem echten Hamilton-Operator modelliert werden, aber mit Formalismen wie der Lindblad-Master-Gleichung (in der der Louvillian-Operator analog zum Hamilton-Operator eine Rolle spielt) oder der nicht-hermiteschen Quantenmechanik . Beide Ansätze beruhen jedoch auf der sogenannten Markov-Näherung. Wenn Informationen über das System an seine Umgebung weitergegeben werden, werden sie entweder sofort zurückgegeben oder gehen einfach verloren. Wir können niemals ein „Signal“ aussenden und einige Zeit später ein „Echo“ zurückhören. Dieser Informationsverlust führt zu der nicht einheitlichen Dynamik.

Es gibt einige Methoden, die darauf abzielen, über die Markov-Näherung hinauszugehen, wie die Nakajima-Zwanzig-Gleichung oder der Feynmann-Vernon-Einflussfunktionsansatz. Diese Verfahren beinhalten im Allgemeinen nicht nur die momentane Dichtematrix, sondern eine Art Integral über die vergangene Geschichte des Systems. Wenn wir den Anfangszustand der Umwelt und all unsere vergangenen Interaktionen mit ihr kennen, können wir ihren aktuellen Zustand rekonstruieren und so die zukünftige Dynamik exakt berechnen. Da die Bewegungsgleichungen in diesen Formalismen zeitlich nicht lokal sind, gibt es wirklich nichts i, das einem Hamilton-Operator so ähnlich ist.

Ich sehe jetzt die Nichtexistenz einer solchen Transformation. Also alles, was wir sagen können, wenn überhaupt, ist das $ich \frac{D}{D T} ρ_{B} = [H_{B}, \sum_{ich} E_{ich}^{A} (⟨ ϕ_{ich} |_{A} \otimes 1_{B}) ρ (| ϕ_{ich} ⟩_{A} \otimes 1_{B})],$ $i\frac{d}{dt} \rho_B =\left[H_B, \sum_iE_i^A(\langle \phi_i|_A\otimes 1_B)\rho(| \phi_i \rangle _A\otimes 1_B)\right],$ was auch immer das bedeuten mag. Ich stimme Ihrer Intuition vollkommen zu, dass der Mangel an Informationen impliziert, dass es im Allgemeinen keinen "reduzierten" Hamilton-Operator gibt (deshalb war ich überrascht und habe diese Frage gestellt :) ). Ich werde über den Rest Ihrer Antwort nachdenken und die von Ihnen erwähnte Literatur überprüfen. Vielen Dank für Ihre Zeit und Geduld!

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