Scheinbar ein Paradox der Eigenzustands-Thermalisierungshypothese (ETH)

Auf dem Forschungsgebiet der Vielteilchenlokalisierung (MBL) spricht man immer wieder von der Eigenzustands-Thermalisierungshypothese (ETH). Die ETH behauptet, dass für ein isoliertes Quantensystem alle Vielteilchen-Eigenzustände des Hamilton-Operators thermisch sind, was bedeutet, dass alle Teilsysteme am Ende an einer Thermalisierung beteiligt sein können. ETH ist nicht immer wahr und ein Verstoß dagegen bedeutet MBL für ein interagierendes Quanten-Vielteilchensystem. Nun, mein Rätsel ist wie folgt:

Für ein isoliertes Quantensystem A und ein raumspezifisches Teilsystem B ∈ A . Es wird der Anfangszustand angenommen A ist einer der Eigenzustände | ψ ( T = 0 ) ⟩ A seines Hamiltonoperators H . Natürlich ist es ein reiner Zustand. Beachten Sie den Anfangszustand | ψ ( T = 0 ) ⟩ B von B ist kein reiner Zustand, es sei denn | ψ ( T = 0 ) ⟩ A ist der direkte Produktzustand von | ψ ( T = 0 ) ⟩ B und der Zustand von A / B , was dort bedeutet B wird mit dem übrigen Teil entwirrt A / B . Seit B willkürlich gewählt ist, gemischter Anfangszustand B ist der allgemeinste Fall und sein Zustand kann nicht durch einen einzigen Zustand, sondern durch eine Dichtematrix beschrieben werden ρ B ( T = 0 ) .

Lassen Sie nun das System A entwickeln sich mit der Zeit. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu überprüfen ρ B zu beliebiger Zeit T .

1) Kann ich teilweise nachvollziehen ρ A von ρ B = tr A / B ρ A . Während ρ A = | ψ | ⟩ A ⟨ ψ | A wird sich nicht ändern, weil | ψ ⟩ A ist der Eigenzustand und wird sich daher nicht unter dem Zeitentwicklungsoperator entwickeln ρ B wird sich nicht für immer ändern.

2) Der gemischte Zustand ρ B ( T = 0 ) entwickelt sich mit der Zeit und kann zur Gibbs-Dichtematrix thermalisieren ρ ~ B = 1 Z e − β H Wo Z ist seine statistische Partitionsfunktion. Dies ist in der Tat die Aussage der ETH.

Was ist falsch an den paradoxen Ergebnissen, die aus zwei verschiedenen Perspektiven für dieselbe Sache betrachtet werden?

Antworten (3)

Der einfachste Weg, dieses Paradoxon aufzulösen, ist zu verlangen

ρ B ( T = 0 ) ≃ ρ ~ B = 1 Z e − β H B .

Das heißt, wenn Sie von einem Eigenzustand ausgehen , benötigen Sie keine Zeitentwicklung, um ein thermisches Gleichgewicht zu erreichen, da der Eigenzustand selbst bereits thermalisiert ist , und dies ist die Aussage der Eigenzustands-Thermalisierungshypothese (ETH). Dies unterscheidet sich stark von einem klassischen chaotischen System, bei dem Sie einige Zeit benötigen, um den Phasenraum zu erkunden und ein Gleichgewicht zu erreichen. Für ein quantenchaotisches System kann das System als sein eigenes Wärmebad dienen: Obwohl jeder Eigenzustand ein reiner Zustand ist, sieht die Matrix mit reduzierter Dichte eines Subsystems thermisch aus.

Ich verstehe ... Quantenchaotisches System braucht keine Zeit zum Thermalisieren. Aber ich frage mich, wie allgemein diese Anforderung ist, die Sie hier angegeben haben? Bedeutet dies, dass diese Anforderung erfüllt ist, wenn die ETH gültig ist?
Ja, diese Anforderung gilt allgemein für jeden ETH-Staat, solange die Region B im Vergleich zum Gesamtsystem klein ist. Sie können sogar denken ρ B = Z − 1 e − β H B als gleichwertige Erklärung der ETH.

Auf die Gefahr hin, es zu offensichtlich zu machen, lassen Sie mich zunächst darauf hinweisen: Jeder Zustand, der sich mit der Zeit ändert, ist kein Eigenzustand des Hamilton-Operators. Wenn Sie also ein System beschreiben, das sich für alle Zeiten im Gleichgewicht befindet, dann können Sie tatsächlich davon ausgehen, dass sich System A in einem Eigenzustand des Vielteilchen-Hamiltonoperators befindet, aber für jede andere Situation (einschließlich aller in der realen Welt!) muss dies der Fall sein in einer Überlagerung dieser Zustände sein.

In den meisten interessanten Fällen ist Ihre erste Annahme also falsch. Insbesondere wenn Sie mit einem Gleichgewichtszustand beginnen und dann Subsystem B lokal aus dem Gleichgewicht bringen, um zu beobachten, wie es sich wieder in ein neues Gleichgewicht entspannt, bringt jede Störung, die Sie anwenden, das Gesamtsystem zwangsläufig in eine Überlagerung mehrerer Mehrkörper-Eigenzustände. Dann entspannt es sich zu einem neuen Gleichgewicht. Da das System jedoch isoliert ist, ging keine Energie verloren und das System befindet sich immer noch in einer Überlagerung von Eigenzuständen. Es muss sich also noch zeitlich weiterentwickeln, aber der Unterschied besteht darin, dass diese Entwicklung keine lokalen Werte mehr verändert ρ B (oder irgendein anderes Subsystem) und so erscheint das System wieder lokal zeitunabhängig.

Der Punkt ist also folgender: In einem System, das die ETH erfüllt, sind alle Eigenzustände des Hamilton-Operators thermisch, aber das Gegenteil gilt nicht: Es gibt viele Zustände, die keine Eigenzustände des Hamilton-Operators sind, aber dennoch thermische Zustände sind. Ich glaube, wenn Sie dies bedenken, ist das "Paradoxon" gelöst.

Für weitere Informationen empfehle ich die Einführung zu diesem Artikel .

Ich lese Ihr Empfehlungspapier. Es ist klar.

Der Anfangszustand muss nicht einer der Eigenzustände des Hamiltonian sein, es könnte eine Überlagerung sein. Daher wird die Zeitentwicklung es ändern. Ich glaube nicht, dass deine erste Annahme richtig ist.

Dies ist die richtige Antwort, da die Frage des OP das Ergebnis eines Missverständnisses der ETH ist. Strong ETH stellt fest, dass sich jeder reine Zustand des Systems so entwickelt, dass alle Subsysteme thermisch aussehen. Eine triviale Folge davon ist, dass jede statische Lösung der Bewegungsgleichungen (lesen Sie den Eigenzustand) bereits thermisch ist.
Scheinbar ein Paradox der Eigenzustands-Thermalisierungshypothese (ETH)
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