2x2-Matrizen, die keine gültigen Quantenzustände sind

Bei einem zweidimensionalen Hilbert-Raum können Quantenzustände ausgedrückt werden als 2 × 2 Dichtematrizen. In Bezug auf die Pauli-Matrizen oder die Bloch-Darstellung können sie geschrieben werden als

ρ = 1 2 ( ICH + R → ⋅ σ → )
Wo R → ist der Bloch-Vektor in der Bloch-Sphäre und | R → | ≤ 1 .

FRAGE 1: Gibt es 2 × 2 Matrizen, die keine gültigen Quantenzustände sind?

FRAGE 2: Gibt es Singular 2 × 2 Matrizen, die gültige Quantenzustände sind?

Antworten (1)

  1. Ja. Nicht alle 2 × 2 Matrizen haben Spur 1, aber alle Dichtematrizen. Es gibt auch viele andere spezielle Eigenschaften von Dichtematrizen, wie z. B. Hermitesch.
  2. Ja. Betrachten Sie zum Beispiel einen reinen Zustand ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | . Dies ist eine Rang-1-Matrix, weil es nur eine Projektion darauf ist | ψ ⟩ , ist also nicht invertierbar.
Wie wäre es mit gemischten Zuständen? Gibt es Einzahl 2 × 2 Matrizen, die gültige gemischte Zustände sind?
@Janus. Es gibt keine 2 mal 2 singulären gemischten Zustände, aber dies ist ein Sonderfall für ein zweidimensionales System. (Sie können dies sehen, indem Sie die Dichtematrix diagonalisieren und beachten, dass es für einen gemischten Zustand mindestens zwei Eigenwerte ungleich Null geben muss.)
@März Danke. Also, sagen wir, ich habe eine zufällige 2 × 2 Bin ich versichert, dass es sich bei einer nichtsingulären positiv bestimmten Matrix mit Spur 1 um einen gültigen Quantenzustand handelt? Sagst du auch, dass es für höherdimensionale Systeme gibt N × N singuläre Matrizen mit Spur 1, die gültige Quantenzustände sind?
@Janus. Ja zu deinen beiden Fragen. Wenn Sie Details wünschen, möchten Sie wahrscheinlich eine neue Frage stellen.
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