Wenn B1, B2B1, B2B_1, B_2 und B2, B3B2, B3B_2, B_3 MUBs sind, können wir dann schlussfolgern, dass entweder B1, B3B1, B3B_1, B_3 MUBs sind oder dass sie äquivalente Hadamard-Matrizen haben?

Diese Frage kann auf zwei Arten formuliert werden. Lass es zwei sein$d$-dimensionale orthonormale Basen$B_{1}$Und$B_{2}$. Ich beziehe mich auf die Elemente von$B_{1}$von$\lvert\nu_{i}\rangle$und zu den Elementen von$B_{2}$von$\lvert\omega_{j}\rangle$. Diese beiden Grundlagen sind gegenseitig unvoreingenommen, nämlich:$\lvert\langle\omega_{j}\lvert\nu_{i}\rangle\lvert^{2}=1/d$für alle$\lvert\omega_{j}\rangle$Und$\lvert\nu_{i}\rangle$. Wir definieren einen Vektor$\lvert\tau\rangle$so dass$\lvert\tau\rangle$ist orthonormal zu einem Element von$B_{2}$, sagen$\lvert\omega_{m}\rangle$und es ist gegenseitig unvoreingenommen in Bezug auf alle Elemente in$B_{1}$:$\lvert\langle\tau\lvert\nu_{i}\rangle\lvert^{2}=1/d$für alle$\lvert\nu_{i}\rangle$. Können wir darauf schließen$\lvert\tau\rangle$ist gleich Mitglied von$B_{2}$sagen$\lvert\omega_{p}\rangle$für einige$p\neq m$bis zu einer Phasendifferenz?

Eine andere Möglichkeit, dieselbe Schlussfolgerung zu ziehen, besteht darin, Folgendes zu fragen: Es gebe drei orthonormale Basen$B_{1}$,$B_{2}$Und$B_{3}$.$B_{1}$Und$B_{2}$sind gegenseitig unvoreingenommen, so sind$B_{2}$Und$B_{3}$. Können wir darauf schließen$B_{1}$Und$B_{3}$sind entweder gegenseitig unvoreingenommen oder haben äquivalente Hadamard-Matrizen? Diese Frage ist für mich besonders wichtig, da in der Literatur immer von Mengen paarweise gegeneinander unverzerrter Basen gesprochen wird. Aber es gibt keinen Beweis dafür, dass drei voneinander unbeeinflusste Basen notwendigerweise paarweise MUBs sein müssen.