Was ist die physikalische Bedeutung des Kerns der Dichtematrix?

Der Kern dieser linearen Abbildung ist die Lösungsmenge der Gleichung A x = 0, wobei 0 als Nullvektor verstanden wird.

Aber was ist die physikalische Bedeutung des Kerns der Dichtematrix?

Antworten (1)

Angenommen, das System befindet sich in einem gemischten Zustand, der durch den Dichteoperator beschrieben wird:

ρ ^ = ∑ k = 1 N ρ k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k |
Wo N ist die Dimensionalität des Hilbert-Raums. Jetzt für jeden Vektor | X ⟩ ∈ K e R ( ρ ^ ) , haben wir per Definition:
ρ ^ | X ⟩ = ∑ k = 1 N ρ k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | X ⟩ = 0
Aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Staaten bedeutet dies, dass ⟨ ψ k | X ⟩ = 0 für alle k ∈ { 1 , . . . , N } , dh der Kern des Dichteoperators ist der Unterraum, der allen Vektoren entspricht, die orthogonal zu der Gesamtheit reiner Zustände sind, die den gemischten Gesamtzustand bilden. Physikalisch bedeutet dies, dass der Kern der Unterraum ist, der von Zuständen aufgespannt wird, in denen sich das System mit Nullwahrscheinlichkeit befindet. Mit anderen Worten, jeder Zustand innerhalb des Kerns hat eine Nullwahrscheinlichkeit des Auftretens und umgekehrt.

Wenn Sie sich bezüglich des Umgekehrt-Teils nicht sicher sind, ziehen Sie einen Staat in Betracht | X ⟩ die eine Eintrittswahrscheinlichkeit von null hat; wir können leicht zeigen, dass dieser Zustand zum Kern des Dichteoperators gehört. Erinnern Sie sich dazu daran, dass die Wahrscheinlichkeit, sich in einem Zustand zu befinden, nur die Spur des Dichteoperators multipliziert mit dem Projektor auf diesen Zustand ist; dh
P = T R ( ρ ^ | X ⟩ ⟨ X | ) = ∑ k = 1 N ⟨ ψ k |   ( ρ ^ | X ⟩ ⟨ X | )   | ψ k ⟩ = ∑ k = 1 N ⟨ ψ k | ρ ^ | X ⟩ ⟨ X | ψ k ⟩
P = ∑ k = 1 N ρ k ⟨ ψ k | X ⟩ ⟨ X | ψ k ⟩ = ∑ k = 1 N ρ k   | ⟨ ψ k | X ⟩ | 2
Wobei ich die Tatsache verwendet habe, dass der Dichteoperator hermitesch ist. Jetzt einstellen P = 0 , weil alle Terme in der obigen Summe nichtnegativ sind (denken Sie daran ρ k eine Wahrscheinlichkeit ist), müssen sie alle Null sein, damit die Summe Null ist; was bedeutet ⟨ ψ k | X ⟩ = 0 . Daher:
ρ ^ | X ⟩ = ∑ k = 1 N ρ k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | X ⟩ = 0
Was bedeutet, dass | X ⟩ ∈ K e R ( ρ ^ ) .

Bedeutet dies dann, dass die Unterstützung der Unterraum ist, der von Zuständen aufgespannt wird, in denen sich das System mit einer Wahrscheinlichkeit ungleich Null befindet?
Ja. Wie gezeigt wurde, hat ein Zustand genau dann eine Eintrittswahrscheinlichkeit von null, wenn er im Kernel ist, was bedeutet, dass jeder andere Zustand nicht im Kernel sein darf, dh er muss in der Unterstützung des Operators sein.
Was ist die physikalische Bedeutung des Kerns der Dichtematrix?
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