Warum spannen die Dichteoperatoren den gesamten Operatorraum B(H)B(H)\mathcal{B}(H) auf?

Sie wollen das bei einer beliebigen Matrix beweisen$A$, wir können schreiben$A$als lineare Kombination positiver Matrizen mit Einheitsspuren.

Dazu beginnst du mit dem Schreiben$A$in Bezug auf seine hermitischen und schief-hermitischen Komponenten (siehe auch diesen Beitrag zu dieser Zerlegung):

$$A=\underbrace{\frac{A+A^\dagger}{2}}_{\equiv A_1}+i\underbrace{\frac{A-A^\dagger}{2i}}_{ \equiv A_2}\equiv A_1+i A_2,$$ Wo$A_1,A_2$hermitesch sind (man kann auch leicht zeigen, dass diese Zerlegung eindeutig ist).

Dann kann man die Tatsache für jede hermitische Matrix verwenden$H$, gibt es positive Matrizen$H_+$Und$H_-$so dass$H=H_+-H_-$. Eine einfache Möglichkeit, diese zu konstruieren, besteht darin, zu haben$H_+$enthalten nur die Terme der spektralen Zerlegung von$H$entsprechend positiven Eigenwerten, und ähnlich für$H_-$. Entsprechend definieren wir einfach$H_+\equiv (H+|H|)/2$Und$H_-\equiv (|H|-H)/2$.

Abschließend haben wir es geschafft zu schreiben

$$A=\frac{1}{2}[(A_{1,+}-A_{1,-})+i(A_{2,+}-A_{2,-})],$$ was Ihnen sagt, dass jeder Operator eine Linearkombination positiver ist . Um zu zeigen, dass es sich auch um eine Linearkombination aus positiven Einheitsspuren handelt, müssen Sie einfach jedes Element in der Summe neu skalieren, um Operatoren mit Einheitsspur zu erhalten. Zum Beispiel,$A_{1,+}$hat möglicherweise keine Einheitsspur, aber$A_{1,+}=\lambda(A_{1,+}/\lambda)$für alle$\lambda\in\mathbb R$, und wir können wählen$\lambda$so dass$\operatorname{tr}(A_{1,+}/\lambda)=1$.

Wählen Sie Ihren bevorzugten Betreiber$\,x\in\mathcal{B}(H)\,$und schreibe es als$\,x=a+ib\,$wo beides

$$a={x+x^*\over 2}\quad\text{and}\quad b={x-x^*\over 2i}$$ sind selbstadjungiert (oder synonym „hermitesch“). Hier $x^*$bezeichnet den Adjunkten von $\,x$; es entspricht Transposition und komplexer Konjugation, wenn $\,x\,$wird als Matrix dargestellt.
Die Linearkombinationen $\,a,b\,$Verallgemeinern Sie den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl.

Um die gewünschte Schlussfolgerung zu erhalten, beachten Sie, dass die Teilmenge der selbstadjungierten Operatoren in$\mathcal{B}(H)$gleich dem$\mathbb{R}$-lineare Spanne von$\,\mathcal{D}(H)\,$.