Spur einer Operatormatrix (Quantencomputing und Quanteninformation)

1. Lassen$\{|i\rangle\}$eine Orthonormalbasis für den Hilbertraum des Systems sein. Dann die Spur eines Operators$O$wird gegeben durch (Siehe Anhang unten)

   $$\begin{align} \mathrm {tr}(O) = \sum_i \langle i|O|i\rangle \end{align}$$

2. Für einen bestimmten Zustand$|\psi\rangle$, definieren wir einen Operator$P_\psi$von

   $$\begin{align} P_\psi|\phi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle|\psi\rangle. \end{align}$$ Als Abkürzung schreiben wir normalerweise$P_\psi = |\psi\rangle\langle\psi|$.

3. Mit den Schritten 1 und 2 berechnen wir:

   $$\begin{align} \mathrm{tr}(A|\psi\rangle\langle\psi|) &= \mathrm{tr}(A P_\psi) \\ &= \sum_i \langle i|AP_\psi|i\rangle\\ &= \sum_i \langle i|A (\langle\psi|i\rangle|\psi\rangle)\\ &= \sum_i \langle i|A|\psi\rangle\langle\psi|i\rangle \end{align}$$ was das gewünschte Ergebnis ist.

Nachtrag. (Formel für die Spur)

Der Einfachheit halber beschränke ich die Diskussion auf endlichdimensionale Vektorräume. Denken Sie daran, wenn$O$ist ein linearer Operator auf einem Vektorraum$V$, und wenn$\{|i\rangle\}$ist eine Grundlage für$V$, dann die Matrixelemente$O_{ij}$von$O$in Bezug auf diese Grundlage werden durch ihr Handeln auf dieser Grundlage wie folgt definiert:

$$\begin{align} O|i\rangle = \sum_jO_{ji}|j\rangle. \tag{$\star$} \end{align}$$ Die Spur des linearen Operators bezüglich dieser Basis ist dann als Summe seiner diagonalen Einträge definiert; $$\begin{align} \mathrm{tr}(O) = \sum_i O_{ii}. \tag{$\star\star$} \end{align}$$ Nun stellt sich heraus, dass die Spur eine basisunabhängige Zahl ist, also können wir uns einfach auf die Spur des linearen Operators beziehen; es ist nur die Spur in Bezug auf eine beliebige gewählte Basis.

Nun stell dir das vor$V$wird wie bei Hilberträumen mit einem inneren Produkt ausgestattet und gelassen$\{|i\rangle\}$sei eine orthonormale Basis für$V$, dann können wir das Skalarprodukt beider Seiten von nehmen$(\star)$in Bezug auf ein Element$|k\rangle$der zu erhaltenden Grundlage

$$\begin{align} \langle k|O|i\rangle = \sum_j \langle k|O_{ji}|j\rangle = \sum_j O_{ji}\langle k|j\rangle = \sum_jO_{ji}\delta_{jk} = O_{ki} \end{align}$$ Mit anderen Worten, $\langle k|O|j\rangle$gibt genau das Matrixelement an $O_{kj}$von $O$in der angegebenen Basis. Insbesondere sind die diagonalen Einträge durch gegeben $\langle i|O|i\rangle$. Stecken Sie diese ein $(\star\star)$, wir bekommen $$\begin{align} \mathrm{tr} (O) = \sum_i \langle i|O|i\rangle \end{align}$$ wie gewünscht.

Wenn wir von Spuren sprechen, meinen wir normalerweise die lineare Funktion$tr : (\mathbb{H}\to_{lin}\mathbb{H})\to_{lin}\mathbb{C}$. Auch das meinen wir im Raum$\mathbb{H}\to_{lin}\mathbb{H}$Es gibt Sonderfunktionen$|i\rangle\langle j|$die eine orthogonale Basis bilden, das heißt$\forall B\in \mathbb{H}\to_{lin}\mathbb{H} : \exists B_{ij}\in\mathbb{C}: B = \sum_{ij}B_{ij}|i\rangle\langle j|$und das$|i\rangle$und$|j\rangle$sind unterschiedliche Namen der orthogonalen Basisvektoren in$\mathbb{H}$.

Jetzt haben wir eine Tatsache über das innere Produkt in$\mathbb{H}$($\delta_{ij}$= 1 wenn$i=j$, sonst 0)

$$\langle i|j\rangle =_1 \delta_{ij}$$

Wir definieren unsere Spur$tr$für die Basisfunktionen wie folgt:

$$tr(|i\rangle\langle j|) =_2 \langle j|i\rangle$$ und automatisch aus der einen Hand bekommen $$tr(B) = tr(\sum_{ij}B_{ij}|i\rangle\langle j|)=_{lin} \sum_{ij}B_{ij}tr(|i\rangle\langle j|) =_2 \sum_{ij}B_{ij} \langle j|i\rangle =_1 \sum_{ij}B_{ij}\delta_{ij} = \sum_{i}B_{ii}$$ andererseits (Unterschiede in den Indexnamen ignorieren), $$\sum_{i}\langle i|B|i\rangle = \sum_{i}\sum_{mn}B_{mn}\langle i|m\rangle\langle n|i\rangle =_1 \sum_{i}\sum_{mn}B_{mn}\delta_{im}\delta_{ni} = \sum_{i}B_{ii}$$ Nehmen Sie das schließlich an$B = A|\psi\rangle\langle\psi|$und das Gewünschte erhalten $$tr(A|\psi\rangle\langle\psi|) = \sum_{i}\langle i|A|\psi\rangle\langle\psi|i\rangle$$