Warum ist der M~M~\tilde M entsprechende Projektionsoperator gegeben durch Pm⊗IBPm⊗IBP_m\otimes I_B?

Question

Warum ist der M~M~\tilde M entsprechende Projektionsoperator gegeben durch Pm⊗IBPm⊗IBP_m\otimes I_B?

Benutzer182786

Nielsen und Chuang, Kapitel 2 (Kasten 2.6) :

Vermuten $M$ auf einem System beobachtbar ist $A$ , und wir haben ein Messgerät, das Messungen von durchführen kann $M$ . Lassen $\tilde M$ bezeichnen die entsprechende Observable für dieselbe Messung, die an dem zusammengesetzten System durchgeführt wird $AB$ . Unser unmittelbares Ziel ist es, dies zu argumentieren $\tilde M$ ist zwangsläufig gleich $M \otimes I_B$ . Beachten Sie, dass wenn das System $AB$ wird im Staat vorbereitet $|m\rangle |\psi\rangle$ , Wo $|m\rangle$ ist ein Eigenzustand mit einem Eigenwert $m$ Und $|\psi\rangle$ ist ein beliebiger Zustand $B$ , dann muss das Messgerät das Ergebnis liefern $m$ für die Messung mit Wahrscheinlichkeit eins. Also wenn $P_m$ ist der Projektor auf dem $m$ Eigenraum des Observablen $M$ , dann den entsprechenden Projektor für $\tilde M$ Ist $P_m \otimes I_B$ . Wir haben daher

$\tilde M = \sum_{m} m P_m\otimes I_B = M \otimes I_B$

Könnte mir bitte jemand erklären, warum der Projektionsoperator ist $P_m\otimes I_B$ ? Ein Beweis oder zumindest ein Beispiel, das die Motivation hinter der Formel verdeutlicht, wäre hilfreich. Das ist im Lehrbuch nicht eindeutig erklärt.

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Warum ist der M~M~\tilde M entsprechende Projektionsoperator gegeben durch Pm⊗IBPm⊗IBP_m\otimes I_B?

Quanten-Spaghettifizierung · Answer 1

Also wenn $P_m$ ist der Projektor auf dem $m$ Eigenraum des Observablen $M$

Lassen $\left|m_1\right> \ldots \left|m_n\right>$ Grundlage sein von $m$ Eigenraum des Observablen $M$ . Dies bedeutet, dass jeder Zustand $\left|\psi_m\right>$ was ein Eigenzustand von ist $M$ dh:

M | ψ_{M} ⟩ = M | ψ_{M} ⟩

$M\left|\psi_m\right>=m\left|\psi_m\right>$ kann geschrieben werden als:

| ψ_{M} ⟩ = \sum_{ich} a_{ich} | M_{ich} ⟩

$\left|\psi_m\right>=\sum_i \alpha_i \left|m_i\right>$ für einige Konstanten

α_{i}

$\alpha_i$ .

Betrachten Sie nun einen allgemeinen Zustand $\left|\psi\right>$ was geschrieben werden kann als:

| ψ ⟩ = \sum_{N} \sum_{ich} a_{N, ich} | N_{ich} ⟩

$\left|\psi\right>=\sum_n\sum_i \alpha_{n,i}\left|n_i\right>$ Hier

n

$n$ bezeichnet den zugeordneten Eigenwert

M

$M$ und die Summe von

i

$i$ ist die Summe über alle orthonormalen Zustände mit diesem Eigenwert. Der Projektionsoperator funktioniert wie folgt:

P_{M} | ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{\sum_{ich} | a_{M, ich} |^{2}}} \sum_{ich} a_{M, ich} | M_{ich} ⟩

$P_M\left|\psi\right>=\frac{1}{\sqrt{\sum_i|\alpha_{m,i}|^2}}\sum_i\alpha_{m,i}\left|m_i\right>$
wobei der Faktor vorne ein Normalisierungsfaktor ist.

Sie können hier sehen, dass wir nur die Zustände mit Eigenwert beibehalten haben $m$ .

dann den entsprechenden Beamer z $\tilde M$ Ist $P_m \otimes I_B$ . Wir haben daher

Nennen wir diesen entsprechenden Projektor $\tilde P_m$ . Dann müssen wir uns fragen; was ist die aktion von $\tilde P_m$ ?

Nun, wir definieren es als den Projektor, der ein allgemeines Ket projiziert:

| ψ_{A} ⟩ \otimes | ϕ_{B} ⟩

$\left|\psi_A\right>\otimes \left|\phi_B\right>$ auf die

m

$m$ Eigenraum des Observablen

M \otimes I_{B}

$M\otimes I_B$ .

Für einen allgemeinen Betreiber $A\otimes B$ Die Aktion auf einen allgemeinen Zustand ist:

(A \otimes B) (| ψ_{A} ⟩ \otimes | ϕ_{B} ⟩) = (A | ψ_{A} ⟩) \otimes (B | ϕ_{B} ⟩)

$(A\otimes B)(\left|\psi_A\right>\otimes \left|\phi_B\right>)=(A\left|\psi_A\right>)\otimes (B\left|\phi_B\right>)$ Also in unserem Fall haben wir das:

(M \otimes {ICH}_{B}) (| ψ_{A} ⟩ \otimes | ϕ_{B} ⟩) = (M | ψ_{A} ⟩) \otimes ({ICH}_{B} | ϕ_{B} ⟩)

$(M\otimes I_B)(\left|\psi_A\right>\otimes \left|\phi_B\right>)=(M\left|\psi_A\right>)\otimes (I_B\left|\phi_B\right>)$ Dann sollte klar sein, dass die

m

$m$ Eigenraum von

M \otimes I_{B}

$M\otimes I_B$ nimmt die Form an:

(\sum_{ich} a_{ich} | M_{ich} ⟩) \otimes | ϕ_{B} ⟩

$(\sum_i \alpha_i \left|m_i\right>)\otimes \left|\phi_B\right>$ Wo

| ϕ_{B} ⟩

$\left|\phi_B\right>$ ist irgendein ket in

B

$B$ . Seit damals:

(M \otimes {ICH}_{B}) (\sum_{ich} a_{ich} | M_{ich} ⟩) \otimes | ϕ_{B} ⟩ = (\sum_{ich} a_{ich} M | M_{ich} ⟩) \otimes ({ICH}_{B} | ϕ_{B} ⟩) = (\sum_{ich} a_{ich} M | M_{ich} ⟩) \otimes | ϕ_{B} ⟩ = M (\sum_{ich} a_{ich} | M_{ich} ⟩) \otimes | ϕ_{B} ⟩

(\sum_{N} \sum_{ich} a_{N, ich} | N_{ich} ⟩) \otimes | ϕ_{B} ⟩

$(\sum_n\sum_i \alpha_{n,i} \left|n_i\right>)\otimes \left|\phi_B\right>$ und per Definition brauchen wir:

{\tilde{P}}_{M} (\sum_{N} \sum_{ich} a_{N, ich} | N_{ich} ⟩) \otimes | ϕ_{B} ⟩ = (\sum_{ich} a_{M, ich} | M_{ich} ⟩) \otimes | ϕ_{B} ⟩

$\tilde P_m(\sum_n\sum_i \alpha_{n,i} \left|n_i\right>)\otimes \left|\phi_B\right>=(\sum_i \alpha_{m,i} \left|m_i\right>)\otimes \left|\phi_B\right>$ Betrachten Sie also die Aktion von

P_{m} \otimes I_{B}

$P_m \otimes I_B$

(P_{M} \otimes {ICH}_{B}) (\sum_{N} \sum_{ich} a_{N, ich} | N_{ich} ⟩) \otimes | ϕ_{B} ⟩ = (P_{M} \sum_{N} \sum_{ich} a_{N, ich} | N_{ich} ⟩) \otimes {ICH}_{B} | ϕ_{B} ⟩

$(P_m \otimes I_B)(\sum_n\sum_i \alpha_{n,i} \left|n_i\right>)\otimes \left|\phi_B\right>=(P_m\sum_n\sum_i \alpha_{n,i} \left|n_i\right>)\otimes I_B\left|\phi_B\right>$

= (\sum_{ich} a_{M, ich} | M_{ich} ⟩) \otimes | ϕ_{B} ⟩

$=(\sum_i \alpha_{m,i} \left|m_i\right>)\otimes \left|\phi_B\right>$ wo wir die Aktion von verwendet haben

P_{m}

$P_m$ wie oben gefunden. Dies gilt nun für alle Vektoren in

\tilde{M}

$\tilde M$ da wir durchgehend allgemeine Vektoren verwenden. Also müssen wir das haben:

{\tilde{P}}_{M} = (P_{M} \otimes {ICH}_{B})

$\tilde P_m=(P_m \otimes I_B)$

tl;dr-Version

Die Aktion von $(P_m \otimes I_B)$ auf einen allgemeinen Zustand in $\tilde M$ Ist:

(P_{M} \otimes {ICH}_{B}) (| ψ_{A} ⟩ \otimes | ϕ_{B} ⟩) = P_{M} | ψ_{A} ⟩ \otimes {ICH}_{B} | ϕ_{B} ⟩

$(P_m \otimes I_B)(\left|\psi_A\right>\otimes\left|\phi_B\right>)=P_m\left|\psi_A\right>\otimes I_B\left|\phi_B\right>$

| ψ_{A}^{M} ⟩ \otimes | ϕ_{B} ⟩

$\left|\psi_A^m\right>\otimes \left|\phi_B\right>$ Wo

| ψ_{A}^{m} ⟩

$\left|\psi_A^m\right>$ ist die Projektion von

| ψ_{A} ⟩

$\left|\psi_A\right>$ auf die

m

$m$ Eigenraum von

m

$m$ . Dies ist per Definition die Aktion des entsprechenden Operators in

\tilde{M}

$\tilde M$ und als solche

(P_{m} \otimes I_{B})

$(P_m \otimes I_B)$ ist dieser Operator.

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Benutzer182786

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