Finden der Matrixdarstellung eines Superoperators

Wenn Sie einen Superoperator schreiben möchten, der eine Links- oder Rechtsmultiplikation darstellt, gibt es eine andere Methode, die einfacher und eleganter ist. Lassen Sie uns den Superoperator für die Linksmultiplikation durch definieren

$$\mathcal{L}(A)[\rho] = A\rho,$$ und der Rechtsmultiplikations-Superoperator by $$\mathcal{R}(A)[\rho] = \rho A.$$ Es sollte klar sein, dass diese Operationen pendeln, d.h $\mathcal{L}(A)\mathcal{R}(B) = \mathcal{R}(B)\mathcal{L}(A)$. Viele gängige Superoperatoren lassen sich als Summe dieser elementaren Komponenten darstellen, zum Beispiel der Kommutator: $$[H,\rho] = \mathcal{L}(H)[\rho] - \mathcal{R}(H)[\rho].$$ Eigentlich glaube ich, dass alle Superoperatoren in Bezug auf diese elementaren Operationen dargestellt werden können, obwohl ich es nie bewiesen habe: es scheint ziemlich offensichtlich.

Um diese Operationen nun als Matrizen darzustellen, müssen Sie Ihren Zieloperator in einen Vektor glätten. Eine Möglichkeit , diese Abbildung durchzuführen, ist die folgende

$$\tag{1}\rho = \sum_{i,j} \rho_{ij}\;\lvert i\rangle\langle j\rvert \to \sum_{i,j} \rho_{ij}\;\lvert i\rangle\otimes\lvert j \rangle .$$ In dieser abgeflachten Darstellung finden wir $$\mathcal{L}(A)[\rho] = \sum_{i,j} \rho_{ij}\;A\lvert i\rangle\langle j\rvert \to \sum_{i,j} \rho_{ij}\;(A\lvert i\rangle)\otimes\lvert j \rangle = \sum_{i,j} \rho_{ij}\;(A\otimes \mathbb{1})\lvert i\rangle\otimes\lvert j \rangle.$$ Daher wird der Linksmultiplikations-Superoperator durch die Matrix dargestellt $\mathcal{L}(A)= (A\otimes\mathbb{1})$. Genauso solltest du das zeigen können $\mathcal{R}(A) = (\mathbb{1}\otimes A^T)$.

Seien Sie gewarnt: Viele standardmäßige Computerpakete für lineare Algebra führen die Abflachung der Abbildung gemäß Gl. (1). Beispielsweise verwendet die MATLAB-Funktion reshape() eine andere Konvention, was bedeutet, dass diese Formeln angepasst werden müssen.

Dies ist genau analog zum Vorgehen zum Auffinden von Matrixelementen normaler Operatoren. Erinnern wir uns zunächst, wie das im bekannten Fall funktioniert. Sie wählen beispielsweise eine orthonormale Basis von Vektoren$|n\rangle$, mit$n = 1,2,\ldots D$, Wo$D$ist die Dimension des Hilbert-Raums, so dass$\langle n\rvert m\rangle = \delta_{mn}$. Nun die Matrixelemente eines Operators$A$werden von gegeben

$$A_{mn} = \langle m\rvert A\lvert n\rangle.$$

Das Verfahren für Superoperatoren ist das gleiche, aber das innere Produkt ist anders. Hier ist es zweckmäßig, das Hilbert-Schmidt-Produkt zweier Operatoren zu verwenden:

$$(A,B) = \mathrm{Tr}\{A^{\dagger}B\}.$$ Sie müssen nun eine vollständige Orthonormalbasis bezüglich dieses Hilbert-Schmidt-Produkts finden, dh einen Satz von Matrizen $M_\mu$, mit $\mu = 1,2,\ldots,D^2$, so dass $(M_\mu,M_\nu) = \delta_{\mu\nu}$. Eine bequeme Wahl für $D=2$ist die Pauli-Basis: $$M_\mu \in \left\lbrace\frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{1},\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma^x,\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma^y,\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma^z\right\rbrace.$$ Eine weitere einfache Basiswahl, die leicht zu verallgemeinern ist, ist die Menge von $D^2$Matrizen, die ein Element mit Wert haben $1$, und alle anderen Elemente sind $0$.

Nun, wenn Sie einen Superoperator haben$\mathcal{L}$, finden Sie seine Matrixelemente durch die Formel

$$\mathcal{L}_{\mu\nu} = (M_\mu, \mathcal{L}[M_\nu] ).$$ Zum Beispiel, wenn Sie einen Hamiltonian haben $H$Erzeugung eines Liouvillian $\mathcal{L}[\bullet] = -i[H,\bullet]$, wäre eines seiner Matrixelemente in der Pauli-Basis zu finden $$\mathcal{L}_{xy} = \frac{-i}{2}\mathrm{Tr}\left\lbrace\sigma^x [H,\sigma^y]\right\rbrace.$$