Intuition zu positiv-operatorbewerteten Maßen (POVM)

Lassen Sie mich den Intuitionsteil etwas erweitern und ein Beispiel aufschreiben. Dies alles wird im Wesentlichen bereits von Yuggibs Antwort abgedeckt.

Ihre Verwirrung über positive vom Bediener bewertete Maßnahmen besteht, wie bereits erwähnt, darin, dass sie nicht mit Messergebnissen verwechselt werden dürfen. Das Problem mit Messergebnissen ist, dass sie ziemlich willkürlich sind. Oft stützen sie sich auf eine Skala (z. B. hängt die Position von einem Referenzrahmen ab), daher können Sie diese Skala anders festlegen und die Messergebnisse ändern. Sie sind gewissermaßen etwas, das innerhalb eines Experiments bestimmt werden muss.

Als Theoretiker sind Sie also meistens nicht wirklich an den Messergebnissen interessiert, sondern nur daran, zu wissen, wann Sie unterschiedliche Ergebnisse erhalten, und vor allem an deren Wahrscheinlichkeiten. Und hier kommen POVMs ins Spiel.

Nehmen wir an, wir befinden uns auf einem Hilbert-Raum. Ein positives operatorwertiges Maß ist eine Abbildung, die einen bestimmten Borel-Satz (hauptsächlich die reellen Zahlen als Ergebnisse des Experiments) auf positive Operatoren abbildet. Sie müssen positiv (semi)definit sein, denn für einen gegebenen Zustand gibt es ein Maß (also eine Abbildung aus der Borel-Menge).$[0,1]$) dem Operator über das Skalarprodukt zugeordnet.

Nehmen wir zum Beispiel Ihr Spin-Experiment: Wir wollen den Spin eines Elektrons messen. Die Ergebnisse sind$-1/2,1/2$. Wir können ein positives Operatorwertmaß folgendermaßen definieren:

Lassen$\mathcal{H}$sei unser Hilbertraum mit unserem Seinszustand$\rho\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$(die entsprechende Dichtematrix in den beschränkten Operatoren - hier könnten wir einfach nehmen$\mathbb{C}^2$für den Spin, aber vielleicht möchten wir die gesamte Dichtematrix mit vielen anderen Informationen darin haben). Lassen$\mathcal{B}$sei die Borel-Sigma-Algebra der Menge$\{-1/2,1/2\}$, dh die Menge der Teilmengen dieser Menge. Dann ist das positive operatorwertige Maß eine Karte

$$\mathcal{P}:\mathcal{B}\to \mathcal{B}(\mathcal{H})$$

und es wird definiert über:

$$\mathcal{P}(\{-1/2\})=P,\quad \mathcal{P}(\{1/2\})=1-P\quad \mathcal{P}(\emptyset)=0 \quad \mathcal{P}(\{-1/2,1/2\})=1$$

Wo$P$ist ein positiver Operator, der mit der Spin-Messung verbunden ist (vielleicht der Pauli$Z$wenn wir überlegen$\mathbb{C}^2$) Die damit verbundene Kennzahl für den gegebenen Zustand$\rho$Ist

$$\mu_{\rho}(U):=\operatorname{tr}(\mathcal{P}(U)\rho) \qquad \forall U\in \mathcal{B}$$

Dies soll ein Wahrscheinlichkeitsmaß sein. Wenn Sie zum Beispiel die Teilmenge nehmen$\{-1/2\}$Dann$\mu_{\rho}(\{-1/2\})$gibt Ihnen die Wahrscheinlichkeit, dass, wenn Sie messen$\rho$, erhalten Sie das Ergebnis$-1/2$. Dies erklärt unsere obigen Definitionen: Die leere Menge sollte auf null abgebildet werden, der gesamte Raum sollte auf 1 abgebildet werden und alles sollte nichtnegativ sein und zwischen null und eins liegen. Daher müssen die Operatoren positiv sein und sich zu Eins addieren!

Um den Kommentar zu erweitern, werden spektrale Maße oder projektionswertige Maße eingeführt, um selbstadjungierte Operatoren zu charakterisieren.

Sie sind Familien orthogonaler Projektionen auf den Hilbert-Raum, die, wenn sie in geeigneter Weise auf Vektoren wirken, ein Maß definieren. Wenn Sie mit bezeichnen$\{P_\lambda\}_{\lambda\in\mathbb{R}}$diese Familie, ein selbstadjungierter Operator$A$entsprechend kann geschrieben werden als

$$A=\int_{\mathbb{R}} \lambda dP_\lambda$$

Die Projektionen sind positive Operatoren, da ein Maß normalerweise positiv ist, wenn (Borel) Teilmengen von Realzahlen (positives Volumen) gemessen werden. Wenn wir jedoch eine Funktion integrieren, können Sie negative Werte erhalten. Also integrieren$\lambda$Bezüglich des spektralen Maßes können Sie negative Werte erhalten (entsprechend der Messung von negativ bewerteten Observablen).

Für eine allgemeine Operatorwert-Kennzahl mit derselben Interpretation benötigen Sie auch Positivität der Operatoren, die die Kennzahl generieren. Daher die Bezeichnung „positive“ betreiberbewertete Maße.

(Warnung: So verstehe ich es, aber ich bin kein Experte für das Argument, also kann ich mich irren.)

Der durch die Messung beschriebene Messvorgang ist wie folgt: Sie haben einen Quantenzustand und führen eine Messung daran durch. Wenn Sie eine Messung durchführen, erhalten Sie eines aus einer Reihe von Ergebnissen. Wenn Sie beispielsweise die Komponente des Spins eines Elektrons in einer bestimmten Richtung messen, haben Sie zwei mögliche Ergebnisse: Spin up oder Spin down. Der Zustand des Elektrons bestimmt, welches der Ergebnisse mit welcher Wahrscheinlichkeit eintritt.

Beachten Sie, dass ich in der obigen Beschreibung diesen Ereignissen keine Werte zugewiesen habe. Natürlich wissen wir, dass "spin up" einer Spin-Komponente von entspricht$\hbar/2$und "spin down" auf eine Spin-Komponente von$-\hbar/2$, aber für die Beschreibung der Messung selbst ist das irrelevant; Alles, was zählt, ist, dass Detektor 1 klickt, wenn wir ein Spin-up-Partikel haben, und Detektor 2 klickt, wenn wir ein Spin-down-Partikel haben.

Auch bei der Betrachtung von POVMs interessiert uns nicht, was der Zustand nach der Messung ist (tatsächlich, wenn wir Photonen messen, ist der Zustand nach einer Messung typischerweise „das Photon existiert nicht mehr“). Uns interessiert nur, welches Ereignis mit welcher Wahrscheinlichkeit eintritt.

Beachten Sie auch, dass das Messverfahren möglicherweise komplizierter ist. Beispielsweise könnte eine Messung lauten: „Lass das fragliche Objekt auf eine bestimmte Weise mit einem anderen Objekt interagieren und miss dann dieses andere Objekt“. Dabei kann ein Messergebnis im Allgemeinen keinem bestimmten Reinzustand des Messobjekts zugeordnet werden. Zum Beispiel können Sie leicht eine POVM mit drei Ergebnissen für den Spin eines Spin-1/2-Teilchens haben. Keines der drei Ergebnisse kann dann einem bestimmten einzigartigen Spin-Wert zugeordnet werden.

Tatsächlich reichen diese Überlegungen allein aus, um die Eigenschaften eines POVM abzuleiten:

Zunächst wird die POVM durch eine Reihe von Funktionen beschrieben$f_k$Zuordnen des Eingangszustands$\rho$zur Wahrscheinlichkeit$p_k=f_k(\rho)$Messergebnis zu erhalten$k$beim Messen dieses Eingangszustands.

Betrachten Sie zunächst den Fall, dass Ihnen der Staat zur Verfügung gestellt wird$\rho_A$mit Wahrscheinlichkeit$p_A$und der Staat$\rho_B$mit Wahrscheinlichkeit$p_B$. Dann ist der Gesamtzustand, mit dem Sie versorgt werden

$$\rho = p_A\rho_A + p_B\rho_B. \tag{1}$$

Nun gilt nach den Wahrscheinlichkeitsregeln, wenn , dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, eine Messung zu erhalten$k$Ist

$$f_k(\rho) = p_A\cdot f_k(\rho_A) + p_B\cdot f_k(\rho_B)\tag{2}$$

Setzen Sie nun (1) in (2) ein, erhalten Sie die Linearität der Funktionen$f_k$. Aber jede lineare Funktion von einem beschränkten Operator zu einer Zahl kann als Spur geschrieben werden

$$f_k(\rho) = \operatorname{tr}(E_k\rho)$$ für einige Betreiber $E_k$.

Die Eigenschaften von$E_k$lässt sich dann leicht aus den Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten ableiten:

Da Wahrscheinlichkeiten real sind und Dichtematrizen hermitesch sind, folgt daraus, dass die$E_k$müssen auch hermitesch sein.

Da Wahrscheinlichkeiten immer nichtnegativ sind, gilt für any$\rho$

$$0 \le p_k = \operatorname{tr}(E_k\rho)$$ also jeder $E_k$muss positiv sein.

Auch da bekommen wir immer eines der Messergebnisse, für jeden Zustand$\rho$die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ergebnisse müssen sich addieren$1$, das ist

$$1 = \sum_k f_k(\rho) = \sum_k \operatorname{tr}(E_k\rho) = \operatorname{tr}\left(\left(\sum_kE_k\right)\rho\right)$$

was das impliziert

$$\sum_kE_k = I$$ Wo $I$ist der Identitätsoperator.