Sind diese beiden unterschiedlichen Formen des Squeeze-Operators äquivalent?

Soweit ich weiß, kann der Squeeze-Operator wie folgt dargestellt werden:

S ( z ) = exp ⁡ ( 1 2 z A † A † − 1 2 z ∗ A A )
Wo z = R e ich θ .

Als ich versuchte, die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel zu verwenden, um zu expandieren S ( z ) , fand ich eine Arbeit "Unmöglichkeit der naiven Verallgemeinerung gequetschter kohärenter Zustände" PRD 29, 1107 (1984), wo

S ' ( z ) = exp ⁡ ( 1 2 e ich θ Tanh ⁡ R A † A † − 1 2 e − ich θ Tanh ⁡ R A A + ( sech R − 1 ) A † A − 1 2 ln ⁡ ( cosch ⁡ R ) ) .

Ich konnte nicht sehen, dass sie einander gleichwertig sind. ich weiß, dass

lim R − > 0 S ' ( z ) = S ( z ) ,

aber ich glaube nicht, dass es eine solche Annahme gibt, wenn wir uns mit den meisten Fällen befassen. Habe ich hier etwas falsch verstanden?

Ergibt sich dies aus der Wirkung des Verschiebungsoperators D ( a )   =   e X P ( a A † − a ∗ A ) auf dem gequetschten Zustandsoperator S ( z ) ? Die BCH-Formel wird normalerweise auf die Multiplikation von potenzierten Operatoren angewendet.
@LawrenceB.Crowell Ich glaube nicht, es gibt keine a in der zweiten Formel, und es ist für einen komprimierten Vakuumzustand, denke ich. Es gibt eine Zassenhaus-Formel für einen Ausdruck wie e X P ( A + B ) , wie ich auf der Wikipedia-Seite der BCH-Formel sehe: en.wikipedia.org/wiki/… .
Sie sollten Ihre Frage überarbeiten, da sie irreführend ist: S' und S sind nicht gleich/äquivalent zueinander. Die Autoren sind in ihrer Verwendung des Normalordnungsoperators η großartig obskur , was mir wenig bedeutet, ihnen sogar einen Vorteil im Zweifel gibt. Auf der nächsten Seite beschreiben sie alles klar im Detail und zeigen Ihnen, wie Sie leicht von S über (3.7) und dann (3.8) zu (3.2) gelangen. Sie würden am glücklichsten sein, (3.1) und seine Gonzo-Mehrdeutigkeit zu ignorieren.

Antworten (3)

Die übliche Zerlegung ist

S ( z ) = exp ⁡ { 1 2 ( z A † 2 − z ∗ A 2 ) } = exp ⁡ { e ich θ 1 2 Tanh ⁡ | z | A † 2 } exp ⁡ { − ln ⁡ cosch ⁡ | z | ( A † A + 1 2 ) } exp ⁡ { − e − ich θ 1 2 Tanh ⁡ | z | A 2 } , = exp ⁡ { − e − ich θ 1 2 Tanh ⁡ | z | A 2 } exp ⁡ { + ln ⁡ cosch ⁡ | z | ( A † A + 1 2 ) } exp ⁡ { e ich θ 1 2 Tanh ⁡ | z | A † 2 } .
Das geht sehr schnell, wenn man von einer Gaußschen Zerlegung und der getreuen, aber nicht einheitlichen Darstellung der ausgeht S u ( 1 , 1 ) Algebra:
A 2 ↦ 2 ich σ − , A † 2 ↦ 2 ich σ + , ( A † A + 1 2 ) ↦ σ 3 .
Ihre Originalarbeit enthält die wichtigsten Schritte gegenüber der Seite der Autoren, Gl. 3.1. Ich kann jedoch nicht sehen, wie die Autoren Ihrer Arbeit alle Exponentiale in ihrer Gleichung 3.1 zusammengefügt haben.

Da sich das OP anscheinend entkoppelt hat und daher die irreführende Frage nicht beheben kann (Suche nach einem Beweis für eine Nicht-Tatsache), werde ich @Emilio Pisantys Mutprobe/Call-of-the-Bluff beantworten: Dies ist eine rituelle Verwirrung, die entsteht von dem ansonsten herausragenden Nieto et al. Papier , wahrscheinlich auch auf dieser Seite. Das in der Antwort des OP zitierte Truax-Papier ist ein Ablenkungsmanöver - es geht nicht auf die Essenz der Fehlinterpretation der Formel (3.1) durch das OP in Nieto et al ein und verdeutlicht nichts, was bereits schön und explizit von Nieto et al abgedeckt wurde. auf S. 1109. (Truax ist bestenfalls eine Fußnote in R. Gilmores Buch, in dem die Technik detailliert beschrieben und erklärt wird.)

Das Standardergebnis, an das @mike stone Sie in seiner Antwort erinnert, (3.7) kann durch die großartige CBH-Umlagerung (3.8) in S (z) = (3.2) umgeformt werden. (Beachten Sie jedoch den offensichtlichen Tippfehler in der Benutzerrechtskomponente der letzten Matrix von (3.5).)

Anmerkung (3.2) ist in normaler Ordnung, dh korrekt und vollständig, ohne dass irgendwelche Kommutatoren in irgendeiner normal geordneten Kürzung geopfert wurden!

Von (3.2) darf man dann rückwärts arbeiten bis zum völlig überflüssigen (! ja, ich strecke den Hals raus) (3.1), richtig kopiert als

S ( z ) = η S ' ( z ) = η exp ⁡ ( 1 2 e ich θ Tanh ⁡ R A † A † − 1 2 e − ich θ Tanh ⁡ R A A + ( sech R − 1 ) A † A − 1 2 ln ⁡ ( cosch ⁡ R ) ) ,
Wo η ist der normale Ordnungsoperator , der alle Kommutatoren in seinem Argument trivialisiert und somit den Umgang mit nicht-kommutierenden Operatoren als kommutative Symbole innerhalb seiner Domäne vorschreibt. Es ist ein leerer und unwesentlicher Schnörkel, der vielen Nicht-QFT-Studenten nicht vertraut ist und der Diskussion wenig (nichts?) hinzufügt. Ein guter Gutachter hätte den Autoren geraten, solche überflüssigen Randbemerkungen zu überspringen, um die Lesbarkeit zu verbessern. Genau diese Frage ist ein Beweis für seine hypothetische Klugheit, wenn er gehandelt hätte. Die Frage ist also eine Ablenkung / Fehlinterpretation einer klassischen und wichtigen gruppentheoretischen Technik. (ZB verwende ich es hier .)

Die Gl. (23a) in der Arbeit "Baker-Campbell-Hausdorff relations and unitarity of SU(2) and SU(1,1) Squeeze Operators" (PRD 31, 8) löst meine Frage. Detaillierte Beweise werden in diesem Papier gezeigt.

Dies ist ein bisschen kurz für diese Seite und wird für zukünftige Besucher mit ähnlichen Fragen von begrenztem Nutzen sein. Bitte fügen Sie hier eine Zusammenfassung der Lösung Ihres Problems bei.
@EmilioPisanty Entschuldigung, ich werde hier nicht das gesamte Papier einfügen, da es in dem Papier im Wesentlichen um die Ableitung meiner Frage geht. Ich beantworte meine eigene Frage, weil sie auch für andere hilfreich sein könnte. Ich kann die Frage löschen, wenn sie die Regel für diese Site nicht erfüllt.
@LuZhang Das meinte ich nicht - die Betonung liegt auf Zusammenfassung. Sie müssen (und sollten) nicht das gesamte Papier einfügen, aber ein Absatz mit den wichtigsten Punkten würde diese Antwort erheblich verbessern.
Sind diese beiden unterschiedlichen Formen des Squeeze-Operators äquivalent?
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