Summe zweier Dichtematrizen: ρ=p1ρ1+p2ρ2ρ=p1ρ1+p2ρ2\rho=p_1\rho_1+p_2\rho_2

Angenommen, wir haben

ρ = P 1 ρ 1 + P 2 ρ 2
Wo ρ 1 Und ρ 2 sind Dichtematrizen mit P 1 + P 2 = 1 .

Ich versuche zu zeigen, dass dies auch eine Dichtematrix ist .

Wenn wir lassen

ρ 1 = ∑ ich N P ψ ich | ψ ich ⟩ ⟨ ψ ich |
Und
ρ 2 = ∑ ich N P ϕ ich | ϕ ich ⟩ ⟨ ϕ ich | .
Ich gehe davon aus, dass diese beiden Dichtematrizen eine Größe haben N , sonst würde das Hinzufügen keinen Sinn machen. Ich habe Probleme zu sehen, wie dies eine Dichtematrix erzeugt. Wenn dies auch der Fall wäre, würde es die Wahrscheinlichkeiten der Kombinationen kombinierter Quantenzustände beschreiben wollen, die a wären N 2 × N 2 Matrix? Das ist alles, was ich als physikalische Interpretation davon sehen kann.

Jeweils mathematischer an die Sache herangehen N × N Matrix in der Summe über beide P 1 ρ 1 Und P 2 ρ 2 hat einen Faktor von P 1 P ψ ich + P 2 P ϕ ich Und

∑ ich N P 1 P ψ ich + P 2 P ϕ ich = ∑ ich N P 1 ( P ψ ich − P ϕ ich ) + P ϕ ich = 1 ,

Was vielversprechend ist (und die einzige Möglichkeit, die ich bisher gefunden habe, um die Bedingung zu verwenden P 1 , P 2 ), aber soweit ich sehen kann, hat dieser Faktor nicht wirklich etwas zu bedeuten. Jede Hilfe wäre sehr dankbar, ich bin ein wenig verloren!

Kommentar zur Frageformulierung (v1). Davon sollte man zusätzlich ausgehen P 1 , P 2 ≥ 0 .

Antworten (2)

Das hängt davon ab, was Sie unter "Dichtematrix" verstehen. Sie scheinen zu denken, dass es sich auf Operatoren des Formulars bezieht

(1) ρ = ∑ k = 1 N P k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | ,
Wo P k ≥ 0 für alle k , ∑ k = 1 N P k = 1 , und das | ψ k ⟩ sind in einigen Vektoren N -dimensionaler Hilbertraum H . Im Gegensatz dazu stützt sich die Antwort von QMechanic auf eine Charakterisierung von Dichtematrizen als positiv semidefinite hermitesche Operatoren mit Spur 1. Der Beweis der Äquivalenz dieser Definitionen ist eine sehr informative Übung und wird Sie wahrscheinlich mehr als Ihr aktuelles Problem lehren.

Um zu beweisen, dass ρ = P 1 ρ 1 + P 2 ρ 2 nach Ihrer Definition eine Dichtematrix ist, müssen Sie sich auf eine Eigenwert-Eigenvektor-Zerlegung verlassen. Schreiben ρ wie in Gleichung (1) ist möglich, weil ρ ist hermitesch; Das Problem besteht dann darin, die beiden Bedingungen auf der zu beweisen P k . Der erste ist äquivalent zu ρ positiv semidefinit sein (warum?), und dies können Sie mit der (realen) abstrakten Definition davon beweisen:

⟨ v | ρ v ⟩ ≥ 0 ∀ v ∈ H .
Die Summenbedingung können Sie beweisen, indem Sie die Spur der verschiedenen Ausdrücke nehmen, die Sie für haben ρ .

Ah, danke, dass Sie das klargestellt haben, ich habe diesen Satz jetzt gefunden und werde den Beweis durcharbeiten, ich stimme zu, er wird für mein Verständnis sehr nützlich sein. Vielen Dank, dass Sie die Methode ohne Verwendung dieses Theorems durchgegangen sind. Ich bin sehr dankbar für Ihre Zeit!

Hinweise:

Ein Dichteoperator ist per Definition ein (semi-) positiver Operator mit Spur gleich eins.

OP fragt im Wesentlichen

Ist eine konvexe Linearkombination von Dichteoperatoren wieder ein Dichteoperator?

Antwort: Ja, weil:

  1. Halbpositive Operatoren bilden einen Kegel , und

  2. Spur ist linear.

Punkt zu sehen. 1, beachten Sie, dass Operatoren A im Komplex 1 Hilbert-Räume genießen die Charakterisierungen

A   halb positiv ⇔ ∀ v ∈ H   :   ⟨ v | A v ⟩   ≥   0 ,

Und

A   hermitesch ⇔ ∀ v , w ∈ H   :   ⟨ v | A w ⟩   =   ⟨ A v | w ⟩
⇔ ∀ v ∈ H   :   ⟨ v | A v ⟩   =   ⟨ A v | v ⟩ ⇔ ∀ v ∈ H   :   ⟨ v | A v ⟩   ∈ R .

--

1 Diese Charakterisierungen gelten nicht für echte Hilbert-Räume, daher verwenden wir hier, dass die Quantenmechanik in komplexen Hilbert-Räumen formuliert ist.

Danke :) Aus Interesse, was stellt diese konvexe lineare Kombination von Dichteoperatoren in Bezug auf ein Quantensystem dar?
@Freeman Eine konvexe Linearkombination ρ = ∑ k P k ρ k mit ∑ k P k = 1 Und P k ≥ 0 stellt eine probabilistische Mischung der Zustände dar ρ k , mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten P k .
Summe zweier Dichtematrizen: ρ=p1ρ1+p2ρ2ρ=p1ρ1+p2ρ2\rho=p_1\rho_1+p_2\rho_2
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