Was ist die reduzierte Dichtematrix, die |0⟩|0⟩|0\rangle oder |1⟩|1⟩|1\rangle mit Wahrscheinlichkeiten 1/21/21/2 ist?

Der Fehler besteht darin, Wahrscheinlichkeitsamplituden und Überlagerungszustände statt Wahrscheinlichkeiten und gemischte Zustände zu berücksichtigen. Im Allgemeinen ist es falsch zu sagen, dass ein Zustand der Form

$$\begin{equation} |\psi\rangle=\sqrt{p_0}|\psi_0\rangle+\sqrt{p_1}|\psi_1\rangle \end{equation}$$ hat eine Wahrscheinlichkeit$p_0$im Staat befunden zu werden$|\psi_0\rangle$und Wahrscheinlichkeit$p_0$im Staat befunden zu werden$|\psi_1\rangle$. Die einzige Zeit, in der eine solche endgültige Aussage gemacht werden kann, ist, wenn die beiden Zustände auf der rechten Seite orthogonal sind; dh,$\langle \psi_1| \psi_0\rangle=0$. In der Tat, wenn die Orthogonalitätsbedingung nicht erfüllt ist, der Zustand$|\psi\rangle$hier geschrieben ist nicht für normalisiert$p_0+p_1=1$.

Das Richtige ist, unsere Dichtematrix als Ensemble reiner Zustände auszudrücken. Das heißt, wir schreiben die Dichtematrizen auf, die wir aus jedem der reinen Zustände erhalten hätten, und summieren sie mit den ihren Wahrscheinlichkeiten entsprechenden Gewichten. In diesem Fall würden wir also schreiben

$$\rho=p_0 |0\rangle\langle 0|+p_1 |-\rangle\langle -|=\frac{1}{2} |0\rangle\langle 0|+\frac{1}{2} |-\rangle\langle -|.$$ Diese Art von "konvexer Kombination" könnte auf eine beliebige Anzahl von Zuständen und einen beliebigen Satz von Wahrscheinlichkeiten für die Zustände erweitert werden, einschließlich einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung für einen kontinuierlichen Satz von reinen Zuständen (aber das ist hier irrelevant). Wenn Sie dies mit den von Ihnen berechneten Zuständen tun, erhalten Sie eine der Antworten aus Ihrem Bild! Aber ich warne Sie davor, bei der Definition des Staates auf das Minuszeichen zu achten$|-\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2}$weil es das Ergebnis zu einer anderen Antwort von Ihrem Bild ändern wird.

Schließlich, wenn wir eine allgemeine Dichtematrix nehmen$\rho$, die Wahrscheinlichkeit, dass es als im Zustand gemessen wird$|\phi\rangle$wird von gegeben

$$\begin{equation}\mathrm{Tr}\left(|\phi\rangle\langle\phi|\rho\right)=\langle\phi|\rho|\phi\rangle. \end{equation}$$ Sie können diese Methode nicht direkt verwenden, um zu überprüfen, ob Sie die richtige Lösung erhalten haben, denn selbst wenn der Zustand vorbereitet ist$|\psi_0\rangle$, gibt es immer noch eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null, dass es in irgendeinem anderen Zustand gemessen wird$|\phi\rangle$mit$\langle\phi|\psi_0\rangle\neq 0$.

Ein wesentlicher Grund für die Einführung der Dichtematrix besteht darin, Systeme zu beschreiben, die klassische „Mischungen“ von Zuständen sind, wobei jedem Zustand eine „klassische“ Wahrscheinlichkeit zugeordnet ist. Eine solche "Mischung" unterscheidet sich grundlegend von einem Überlagerungszustand. Überlagerungszustände entsprechen keinem klassischen System, bei dem Sie eine Wahrscheinlichkeit haben, das System im Zustand zu finden$|n\rangle$mit Wahrscheinlichkeit$p_n$.

Dies lässt sich leicht veranschaulichen, wenn wir den zeitabhängigen Erwartungswert eines Operators einer Überlagerung von Energieeigenzuständen betrachten. Ein Überlagerungszustand ist zB

$$|\psi\rangle = c_a|a\rangle +c_b|b\rangle$$ Der zeitabhängige Zustand wäre $$|\psi(t)\rangle = c_ae^{-iE_at/\hbar }|a\rangle + c_b e^{-iE_bt/\hbar }|b\rangle$$ Schauen wir uns nun den Erwartungswert eines beliebigen hermiteschen Operators an$\hat O$ $$\begin{aligned} \langle \psi(t)|\hat O|\psi(t) \rangle &=\left( c_a^*e^{iE_at/\hbar }\langle a| + c_b^* e^{iE_bt/\hbar }\langle b|\right)|\hat O| \left( c_ae^{-iE_at/\hbar }|a\rangle + c_b e^{-iE_bt/\hbar }|b\rangle \right)\\ \langle \psi(t)|\hat O|\psi(t) \rangle &= |c_a|^2\langle a|\hat O|a \rangle + |b|^2\langle b|\hat O|b\rangle + 2\Re\left(c_a^*c_be^{i(E_a-E_b)t\hbar}\langle a|\hat O|b\rangle \right) \end{aligned}$$ Wenn wir der Einfachheit halber davon ausgehen$c_a,c_b,\langle a|\hat O|b\rangle \in \Re$und definieren$\omega_{ab}=(E_a- E_b)/\hbar$wir können zu vereinfachen $$\langle \psi(t)|\hat O|\psi(t) \rangle = |c_a|^2\langle a|\hat O|a \rangle + |b|^2\langle b|\hat O|b\rangle + 2c_ac_b \cos(\omega_{ab} t) \langle a|\hat O|b\rangle$$

Dieses Ergebnis für einen zeitabhängigen Erwartungswert einer Überlagerung sieht ein bisschen aus wie die Summe der Erwartungswerte, die dem Zustand a zugeordnet sind$\langle a| \hat O|a\rangle\equiv O_a$mit Wahrscheinlichkeit gewichtet$p_a \equiv |c_a|^2$plus den Erwartungswert von Zustand b$O_b$gewichtet mit$p_b$wenn da nicht der zeitabhängige Schwingungsfaktor wäre$2c_ac_b \cos(\omega_{ab} t) \langle a|\hat O|b\rangle$das bewirkt, dass der Erwartungswert oszilliert und mit der Zeit variiert. Dies steht im Gegensatz zu einem klassischen System, bei dem Sie feste Wahrscheinlichkeiten haben$p_a$Und$p_b$. Bei „klassischen“ Wahrscheinlichkeiten würde man keine zeitliche Schwankung des Erwartungswerts erwarten, sondern davon ausgehen, dass der Erwartungswert einfach die gewichtete Summe der Erwartungswerte ist$\text{"classical sum"} = |c_a|^2O_a + |c_b|^2O_b$.

Womit wir beim wichtigen Punkt wären, nämlich dass es unmöglich ist, ein solches System mit einem einzigen Zustand, auch reiner Zustand genannt, zu beschreiben,

$$\begin{aligned} \langle \psi(t)|\hat O|\psi(t)\rangle &\not = |c_a|^2O_a + |c_b|^2O_b\\ & \not= p_a O_a + p_b O_b\\ \langle \psi(t)|\hat O|\psi(t)\rangle &\not= |c_a|^2\langle a|\hat O|a\rangle + |c_b|^2\langle b|\hat O|b\rangle \end{aligned}$$ was einen Erwartungswert ergibt, der aussieht, als wäre er durch eine "klassische" Summe wahrscheinlichkeitsgewichteter Zustände gebildet worden.

Um Systeme zu beschreiben, die einfache Summen klassischer Wahrscheinlichkeiten sind, benötigen wir den Formalismus von Dichtematrizen/Operatoren. Nur innerhalb dieses Formalismus können wir Quantensysteme modellieren, die "klassische" wahrscheinlichkeitsgewichtete Summen sind.

Das Problem bei Ihrem Ansatz ist, dass Sie nur Überlagerungszustände konstruiert und die Eigenschaft von Dichtematrizen zur Beschreibung "klassischer" Wahrscheinlichkeiten nicht genutzt haben.

Der Dichtematrix-Formalismus ermöglicht es uns, wahrscheinlichkeitsgewichtete Summen wie diese zu konstruieren

$$\hat \rho = \sum p_n |n\rangle \langle n|$$

Dies ermöglicht es uns, eine Dichtematrix auf der Grundlage von zwei Zuständen wie dieser zu konstruieren,

$$\rho_{\text{classical}} = \left( \begin{matrix}|c_a|^2 & 0\\ 0 & |c_b|^2 \end{matrix}\right)$$

während ein einzelner Überlagerungszustand immer zu einer Matrix der Form führt

$$\rho_{\text{pure state}} = \left( \begin{matrix}|c_a|^2 & c_ac_b^*\\ c_a^*c_b & |c_b|^2 \end{matrix}\right)$$

Ich hoffe, dies hilft Ihnen, die Frage zu verstehen, die trivial zu beantworten ist, wenn Sie die Grundlagen und das "Warum" des Dichtematrix- / Operatorformalismus verstehen.