Spur der Dichtematrix für gemischten Zustand

Auf Seite 5 dieses Online-Dokuments heißt es eine scheinbar triviale Tatsache: Wenn wir eine Dichtematrix für einen gemischten Zustand haben, der durch definiert ist

ρ ^ = ∑ k P k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k |

Wo { | ψ k ⟩ } (nicht notwendigerweise orthogonale) reine Zustände sind, dann haben wir die folgende doppelseitige Implikation:

Tr ⁡ ( ρ ^ ) = 1       ⟺       ∑ k P k = 1

Das scheint mir intuitiv klar, aber wenn ich versuche, von links nach rechts zu gehen, bleibe ich hängen. Hier ist, was ich meine:

Tr ⁡ ( ρ ^ ) = ∑ M ⟨ ψ M | ρ ^ | ψ M ⟩ = ∑ M ⟨ ψ M | ( ∑ k P k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | ) | ψ M ⟩ = ∑ k P k ∑ M | ⟨ ψ M | ψ k ⟩ | 2

Nun, wenn { | ψ k ⟩ } ist dann orthogonal | ⟨ ψ M | ψ k ⟩ | 2 = δ M k und alles klappt problemlos - aber sie sind nicht orthogonal. Also was mache ich?

Ihr Verfahren zur Berechnung der Spur ist falsch! Wenn die ψ N s sind keine orthonormalen Vektoren T R ( ρ ) ≠ ∑ N ⟨ ψ N | ρ ψ N ⟩ ...Ab ρ ^ = ∑ k P k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | , sollten Sie eine andere orthonormale Basis verwenden , um die Spur zu berechnen, und Ihr Verfahren führt unter Berücksichtigung dessen zum gewünschten Ergebnis.
Bist du dir zu 100% sicher, dass der Link richtig ist? =D
Ihr 'Online-Dokument' scheint überhaupt nicht viel über Dichtematrizen zu sagen ...
Oh mein Gott, ich kann nicht glauben, dass ich versehentlich diesen Link gesetzt habe. XD Mein Fehler. Es hat sich jetzt geändert.
@ValterMoretti Ich dachte, die Spur sei basisunabhängig, und daher war es egal, über welche Basis ich summierte, solange die Dichtematrix in Bezug auf dieselbe Basis gesetzt wird.
Die Spur ist basisinvariant in dem Sinne, dass das Aufsummieren diagonaler Einträge einer Matrix unabhängig von der gewählten Basis ist, um die lineare Abbildung darzustellen. Versuchen Sie, das zu tun, was Sie getan haben, für ein einfaches Beispiel, und Sie werden sehen, dass die Spur in diesem Sinne nicht invariant ist.
Die Spur ist basisunabhängig, wenn sie korrekt definiert ist , dh unter Verwendung einer orthonormalen Basis. In Ihrem Fall ist der Satz von Vektoren nicht unbedingt eine Basis, ob orthonormal oder nicht.
In Ihrer Datei ist Punkt 7 nicht korrekt, es sei denn, Sie geben an, dass die Vektoren | N ⟩ bilden eine orthonormale Basis.

Antworten (1)

Konzentrieren wir uns auf Ihre Identitätskette.

Tr ( ρ ^ ) = ∑ M ⟨ ψ M | ρ ^ | ψ M ⟩ = ∑ M ⟨ ψ M | ( ∑ k P k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | ) | ψ M ⟩ = ∑ k P k ∑ M | ⟨ ψ M | ψ k ⟩ | 2
Der Punkt in den obigen Implikationen ist, dass die erste Zeile die korrekte Definition von Spur ist, wenn und nur wenn die Vektoren | ψ M ⟩ bilden eine orthonormale Basis. Ansonsten ist die rechte Seite nicht die Spur von ρ ^ und die Argumentation hört hier auf.

Wenn die Vektoren | ψ M ⟩ sind normalisiert, aber nicht zueinander orthogonal und

ρ ^ := ∑ k P k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | ,
dann besteht das richtige Verfahren darin, eine orthonormale Basis von Vektoren herauszusuchen | ϕ M ⟩ und dann
Tr ( ρ ^ ) = ∑ M ⟨ ϕ M | ρ ^ | ϕ M ⟩ = ∑ M ⟨ ϕ M | ( ∑ k P k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | ) | ϕ M ⟩ = ∑ k P k ∑ M | ⟨ ϕ M | ψ k ⟩ | 2 = ∑ k P k | | | ψ k ⟩ | | 2 = ∑ k P k 1 = ∑ k P k
wir haben daher die von Ihnen erwähnte gewünschte doppelseitige Implikation:

Tr ( ρ ^ ) = 1       ⟺       ∑ k P k = 1 .

Ah okay, das ist glasklar. Dann rührte meine Verwirrung von der Tatsache her, dass der Autor dieses Papiers, wie Sie in Ihrem letzten Kommentar betonten, nicht spezifizierte, dass in der Definition von Spur die Summe auf einer orthonormalen Basis angenommen wurde.
Ich freue mich, dass Sie den Punkt verstanden haben.
Spur der Dichtematrix für gemischten Zustand
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