Woher kommt der Ausdruck Tr(K)=∑nj=1⟨ψj|K|ψj⟩Tr(K)=∑j=1n⟨ψj|K|ψj⟩\mathrm{Tr}(K) = \sum_{j= 1}^{n}\langle\psi_j|K|\psi_j\rangle für die Teilspur her?

Question

Woher kommt der Ausdruck Tr(K)=∑nj=1⟨ψj|K|ψj⟩Tr(K)=∑j=1n⟨ψj|K|ψj⟩\mathrm{Tr}(K) = \sum_{j= 1}^{n}\langle\psi_j|K|\psi_j\rangle für die Teilspur her?

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Physik
Dichteoperator
Quantenmechanik
offene Quantensysteme
Quantenmessungen

Wagner Coelho

Während meiner Studien zu zusammengesetzten Quantensystemen finde ich einige Ausdrücke, die mich etwas zweifeln lassen. Zum Beispiel: Sei K ein linearer Operator, der im Hilbert-Raum H definiert ist. Wobei H gegeben ist durch $H = H_{a}\otimes H_{b}$ . Wenn ich die Ablaufverfolgung durchführen möchte $K$ In $H$ Leerzeichen verwende ich den folgenden Ausdruck

T R (K) = \sum_{J = 1}^{N} ⟨ ψ_{J} | K | ψ_{J} ⟩

$\mathrm{Tr}(K) = \sum_{j=1}^{n}\langle\psi_j|K|\psi_j\rangle$ Wo {

| ψ_{j} ⟩

$|\psi_j\rangle$ } ist eine gewisse Grundlage

H

$H$ . Wenn ich damit die Teilverfolgung dieses Operators auf einer bestimmten Basis durchführen möchte

H_{b}

$H_b$ gegeben von {

| b_{j} ⟩

$|b_j\rangle$ }, verwende ich den folgenden Ausdruck:

\begin{matrix} (1) & {T R}_{B} (K) = \sum_{J} ({ICH}_{A} \otimes ⟨ B_{J} |) K ({ICH}_{A} \otimes | B_{J} ⟩) \end{matrix}

$\mathrm{Tr}_b(K) = \sum_{j}(I_a\otimes\langle b_j|)K(I_a\otimes|b_j\rangle)\tag{1}$
Ich habe Zweifel an diesem Ausdruck:

Ist $I_a$ ist der durch gegebene Identitätsoperator $\sum_{i}|a_i\rangle\langle a_i|$ ?(Wo $\{|a_i\rangle\}$ ist einige Grundlage auf $H_a$ ). Woher kommt Ausdruck (1)?, Wenn ich den Ausdruck für wüsste $K$ , wäre Ausdruck (1) gleichbedeutend mit Anwenden $\mathrm{Tr}_b(K)$ = $\sum_{j}\langle b_j|K|b_j\rangle$ ?

Nach der gleichen Überlegung, aber jetzt im Zusammenhang mit Messungen in einem Verbundsystem ( $H = H_{a}\otimes H_{b}$ ). Nach Messung einer Observablen $A = \sum_{a}a|a\rangle\langle a| = \sum_{a}aA_a$ , Wo $A_a=|a\rangle\langle a|$ ist der Projektor und $\{a\}$ ist das diskrete Spektrum, auf das der Zustand zusammenfällt

\begin{matrix} (2) & ρ_{A} = (A_{A} \otimes {ICH}_{B}) ρ (A_{A} \otimes {ICH}_{B}) / P_{A} \end{matrix}

$\rho_a = (A_a\otimes I_b)\rho(A_a\otimes I_b)/p_a \tag{2}$ mit

p_{a}

$p_a$ die Wahrscheinlichkeit, (a) zu erhalten, wenn eine Messung durchgeführt wird.

Ebenso würde ich gerne wissen, wo Gleichung $(2)$ kam aus. Gleichungen machen $(1)$ Und $(2)$ eine Beziehung haben?

Noah

Ich bin mir nicht sicher, was genau Sie fragen. Sie wollen wissen, woher Gleichung (1) kommt? Und ob

I_{a}

$I_a$ ist der Identitätsoperator im Unterraum

a

$a$ ?

Wagner Coelho

Ja, ich möchte wissen, woher Gleichung (1) kommt? und wenn der Identitätsoperator so geschrieben werden kann, wie ich es ausdrücke? Identitätsoperator und Abschlussbeziehung sind dasselbe? Ich würde gerne wissen, woher Gleichung (2) kommt? Haben Gleichung 1 und 2 irgendeine Beziehung?

glS

Nach welcher Definition von Teilspuren gehen Sie vor?

Antworten (1)

Woher kommt der Ausdruck Tr(K)=∑nj=1⟨ψj|K|ψj⟩Tr(K)=∑j=1n⟨ψj|K|ψj⟩\mathrm{Tr}(K) = \sum_{j= 1}^{n}\langle\psi_j|K|\psi_j\rangle für die Teilspur her?

Ich bin mir nicht sicher, was genau Sie fragen. Sie wollen wissen, woher Gleichung (1) kommt? Und ob $I_a$ ist der Identitätsoperator im Unterraum $a$ ?
Ja, ich möchte wissen, woher Gleichung (1) kommt? und wenn der Identitätsoperator so geschrieben werden kann, wie ich es ausdrücke? Identitätsoperator und Abschlussbeziehung sind dasselbe? Ich würde gerne wissen, woher Gleichung (2) kommt? Haben Gleichung 1 und 2 irgendeine Beziehung?

J. Murray · Answer 1

Eine vernünftige Definition für die Teilspur ist die folgende. Gegeben beliebige orthonormale Basissätze $|a_i\rangle$ Und $|b_i\rangle$ für $\mathcal H_a$ Und $\mathcal H_b$ bzw. jeder Operator $K$ auf dem Platz $\mathcal H_a\otimes \mathcal H_b$ kann geschrieben werden

K = \sum_{ich J k ℓ} K_{ich J k ℓ} | A_{ich} ⟩ | B_{J} ⟩ ⟨ A_{k} | ⟨ B_{ℓ} |

$K = \sum_{ij k\ell} K_{ijk\ell} |a_i\rangle |b_j\rangle \langle a_k|\langle b_\ell|$

Wo $K_{ijk\ell} \equiv \langle a_i|\langle b_j| K |a_k\rangle |b_\ell\rangle$ , Und $\langle a_i|\langle b_j| \equiv \langle a_i|\otimes \langle b_j|$ (Ich lasse die $\otimes$ zur besseren Übersichtlichkeit). Die Teilspur wird dann als definiert

{T R}_{B} (K) := \sum_{ich k ℓ} K_{ich ℓ k ℓ} | A_{ich} ⟩ ⟨ A_{k} |

$\mathrm{Tr}_b(K):= \sum_{ik\ell}K_{i\ell k\ell}|a_i\rangle\langle a_k|$

das ist jetzt ein linearer Operator auf $\mathcal H_a$ allein, mit Koeffizienten

({T R}_{B} (K))_{ich k} = \sum_{ℓ} K_{ich ℓ k ℓ}

$\bigg(\mathrm{Tr}_b(K)\bigg)_{ik} = \sum_\ell K_{i\ell k\ell}$

Viele Leute entscheiden sich dafür, Gleichungen zu schreiben $(1)$ weil es den Eindruck erweckt, über die zu verfolgen $|b_i\rangle$ Grundlage beim Verlassen der $|a_i\rangle$ Grundlage allein. Wenn Sie sich den Ausdruck jedoch zu genau ansehen, ergibt er keinen wirklichen Sinn $^\dagger$ - was für ein Objekt ist (Operator) $\otimes$ (Vektor)?

Wenn ich den Ausdruck für wüsste $K$ , wäre Ausdruck (1) gleichbedeutend mit Anwenden $\mathrm{Tr}_b(K) = \sum_j \langle b_j|K|b_j\rangle$ ?

Dieser Ausdruck ergibt keinen Sinn. $K$ wirkt auf $\mathcal H_a\otimes \mathcal H_b$ , also was tut $K|b_j\rangle$ meine wenn $|b_j\rangle \in \mathcal H_b$ ?

Ebenso würde ich gerne wissen, woher Gleichung (2) stammt.

Wenn Sie einen reinen Zustand haben $|\psi\rangle\in \mathcal H_a\otimes \mathcal H_b$ , dann ist der entsprechende Dichteoperator gegeben durch $\rho_\psi := \frac{|\psi\rangle \langle \psi|}{\langle \psi|\psi\rangle}$ . Wenn Sie einen Projektionsoperator anwenden $P_a\otimes \mathbb I_b$ zu deinem Zustand $|\psi\rangle$ , wird Ihr neuer Dichteoperator

ρ = \frac{(P_{A} \otimes {ICH}_{B}) | ψ ⟩ ⟨ ψ | (P_{A} \otimes {ICH}_{B})}{⟨ ψ | (P_{A} \otimes {ICH}_{B})^{2} | ψ ⟩}

$\rho = \frac{(P_a \otimes \mathbb I_b)|\psi\rangle\langle \psi|(P_a \otimes \mathbb I_b)}{\langle \psi|(P_a \otimes \mathbb I_b)^2|\psi\rangle}$

was gleich Ihrer Gleichung (2) ist. Kurz gesagt erben Dichteoperatoren ihre projektive Entwicklung von der projektiven Entwicklung der Zustände, aus denen sie aufgebaut sind. Dies erstreckt sich dann natürlich auch auf Zustände, die nicht notwendigerweise rein sind.

$^\dagger$ Dies kann behoben werden. Objekte wie diese können mit ein wenig Nachdenken definiert werden, und das Ergebnis ist intuitiv genau das, was Sie erwarten würden.

Woher kommt der Ausdruck Tr(K)=∑nj=1⟨ψj|K|ψj⟩Tr(K)=∑j=1n⟨ψj|K|ψj⟩\mathrm{Tr}(K) = \sum_{j= 1}^{n}\langle\psi_j|K|\psi_j\rangle für die Teilspur her?

Wagner Coelho

Noah

Wagner Coelho

glS

Antworten (1)

J. Murray

Wagner Coelho

Woher wissen wir, dass, wenn sich nur ρAρA\rho_A entwickelt, die Entwicklung von ρABρAB\rho_{AB} gegeben ist durch (LA⊗1)(ρAB)(LA⊗1)(ρAB)(\mathcal{L}_A \ omal 1)(\rho_{AB})?

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