Frage nach der wahren Bedeutung der Teilspur

Betrachten Sie ein zusammengesetztes System, dessen Hilbert-Raum ist H A B = H A ⊗ H B , Wo { | 0 A ⟩ , | 1 A ⟩ } Und { | 0 B ⟩ , | 1 B ⟩ } sind orthonormale Basen von H A Und H B , bzw.

Angenommen, das zusammengesetzte System befindet sich im reinen Zustand | ψ ⟩ = 1 2 ( | 0 A 1 B ⟩ − | 1 A 0 B ⟩ ) dessen Dichtematrix gegeben ist durch

ρ = 1 2 ( | 0 A 1 B ⟩ ⟨ 0 A 1 B | + | 1 A 0 B ⟩ ⟨ 1 A 0 B | − | 0 A 1 B ⟩ ⟨ 1 A 0 B | − | 1 A 0 B ⟩ ⟨ 0 A 1 B | )

Der Zustand der A -Subsystem ist dann durch die partielle Spur von gegeben ρ hinsichtlich B , dh

ρ A = T R B ( ρ ) = 1 2 ( | 0 A ⟩ ⟨ 0 A | + | 1 A ⟩ ⟨ 1 A | ) .

ρ A ist eine vollständige Beschreibung der A -Subsystem, und mit seiner Verwendung können wir die Ergebnisse aller Messungen vorhersagen, die man durchführen kann A .

Nehmen Sie nun die teilweise Spur von ρ hinsichtlich B scheint zwei Dinge zu tun: (1) es sagt uns, dass die "nicht-diagonalen Terme" in ρ (dh die letzten beiden Terme in der obigen Gleichung für ρ ) sind für die Beschreibung der A -Teilsystem; (2) es gibt uns eine Möglichkeit, über die zu sprechen A -Subsystem ohne Erwähnung des B -Basisvektoren über den obigen Ausdruck für ρ A .

Allerdings scheint es (zumindest für mich), dass (1) das ist, was wirklich wichtig und bedeutsam ist. Sobald wir wissen, welche Begriffe in ρ sind erforderlich, um die zu beschreiben A -Subsystem vollständig, spielt es keine Rolle, ob wir einige Basisvektoren des erwähnen B -Unterraum. Mit anderen Worten: Es scheint so

ρ A ' = 1 2 ( | 0 A 1 B ⟩ ⟨ 0 A 1 B | + | 1 A 0 B ⟩ ⟨ 1 A 0 B | )
ist eine ebenso gute Beschreibung der A -Subsystem als ρ A ; die Tatsache, dass wir die Sprache von verwenden H A B ist unwichtig.

Frage: Ist das richtig? Wenn nicht, wo mache ich einen Fehler?

PS: Auf diesem Gedankengang der Betreiber ρ A ' wäre auch eine vollständige Beschreibung der B -Teilsystem. Das liegt aber nur an den Symmetrien des einfachen Beispiels, das ich gewählt habe: beide Teilspuren von ρ über A Und B Erzwingen Sie die Löschung genau derselben Terme außerhalb der Diagonale. Dies ist aber nicht generell der Fall.

Antworten (1)

Nein, dein Gedankengang ist nicht richtig. Im Gegenteil: Wir interessieren uns in erster Linie für die Teilspur wegen Grund (2), dh es ist die eindeutige Möglichkeit, dem Subsystem A einen Zustand zuzuweisen, wenn Sie keinen Zugriff auf Messungen in B haben Attribut (1) ist spezifisch für das von Ihnen gewählte Beispiel und im Wesentlichen ein Nebenprodukt.

Nehmen Sie zwei Quantensysteme mit gemeinsamem Zustandsraum H A B = H A ⊗ H B , dann kann jeder reine oder gemischte Zustand des Gelenksystems durch eine Gelenkdichtematrix beschrieben werden ρ A B , und diese gemeinsame Dichtematrix kann verwendet werden, um die Erwartungswerte aller Observablen zu erhalten Q ^ über den vollständigen Trace

⟨ Q ⟩ = T R ( Q ^ ρ A B ) .
Wenn Sie jedoch nur Zugriff auf Messungen auf Subsystem A haben, sind Sie auf die Messung von Observablen der Form beschränkt Q ^ = R ^ ⊗ ICH , und für die vereinfacht sich der Erwartungswert erheblich: Basieren { | N A ⟩ } Und { | N B ⟩ } für H A Und H B , heißt es
⟨ Q ⟩ = T R ( Q ^ ρ A B ) = T R ( R ^ ⊗ ICH   ρ A B ) = ∑ N A , N B ⟨ N A | ⟨ N B | ( R ^ ⊗ ICH   ρ A B ) | N A ⟩ | N B ⟩ = ∑ N A ⟨ N A | ( R ^   ∑ N B ⟨ N B | ICH ρ A B | N B ⟩ ) | N A ⟩ = T R A ( R ^   T R B ( ρ A B ) ) .
Mit anderen Worten, die Teilspur ρ A = T R B ( ρ A B ) ist die Dichtematrix, die alle experimentellen Beobachtungen berücksichtigt, die an Subsystem A durchgeführt wurden und an Subsystem B nicht beteiligt sind.

Alles, was aus dieser Definition folgt, mit der Kernbegründung wie oben, ist einfach das: eine Folge der Definition.

Danke für deine Antwort, Emilio, ich weiß das wirklich zu schätzen!
Nur zur Klarstellung: Ich habe alles, was Sie erklären, als selbstverständlich angesehen. Ich denke, was ich sagen wollte, ist: Wann immer Sie einen Operator des Formulars in Betracht ziehen Q = R A ⊗ 1 B , Dann T R ( Q ρ A B ) = T R ( Q ρ A ' ) seit T R B ( 1 B ρ A B ) = T R B ( 1 B ρ A ' ) , Wo ρ A ' wird bezogen von ρ A B indem alle Summanden der Form subtrahiert werden | N A N B ⟩ ⟨ N A ' N B ' | mit N B ≠ N B ' . Wenn das nicht stimmt, was wäre ein Gegenbeispiel?
Ihr Vorschlag ρ A ' kein Operator auf dem Zustandsraum von A ist ρ A : H A → H A . Dem ist wirklich nichts hinzuzufügen - wenn es nicht auf den Zustandsraum des Systems beschränkt ist, dann ist es kein Zustand des Systems. Wenn dieser Kernpunkt nicht klar ist, gibt es nicht viel zu sagen.
Ich bin mir dessen bewusst ρ A ' ist kein Operator auf H A . Aus Gründen, die uns zu weit führen würden, suche ich nach einer Möglichkeit, den Inhalt von auszudrücken ρ A in Bezug auf einen Operator auf H A B ; und ich dachte an ρ A ' wie eben dieser Operator. Wie auch immer, Sie waren bereits sehr hilfreich - nochmals vielen Dank!
Wenn Ihre Gründe dafür gut genug sind und sie Ihnen starke Gründe liefern, um die enorme Entartung zu durchbrechen (dh eine Methode aus einer Unendlichkeit zu wählen), kann es gerechtfertigt sein, den Inhalt von auszudrücken ρ A in Bezug auf einen Operator auf H A B ; Sie können diesen neuen Operator jedoch nicht als Matrix mit reduzierter Dichte bezeichnen. (Andererseits - sind Sie sicher, dass Sie nicht wirklich nach einem vollständig dephasierenden Quantenkanal auf dem suchen | N B ⟩ Basis? sag nur...).
Punkt genommen bezüglich: die Tatsache, dass ρ A ' sollte nicht die reduzierte Dichtematrix genannt werden! Ich muss gestehen, dass ich nicht weiß, was ein vollständig dephasierender Quantenkanal ist, und eine flüchtige Google-Suche deutet darauf hin, dass es kompliziert ist. Hast du vielleicht einen Hinweis auf eine gute Einstiegsquelle?
Die kanonische Ressource ist Nielsen and Chuang's Quantum Computation and Quantum Information ; Ich habe kein Exemplar bei mir, daher weiß ich nicht, wie zugänglich es dieses bestimmte Thema abdeckt. Wenn es zu komplex ist, wäre eine Frage zu Ressourcenempfehlungen auf dieser Website angebracht; Sie erhalten die besten Ergebnisse, wenn Sie nach einem Einführungstext zu Quantenkanälen fragen, am Beispiel des Dephasierungskanals. Aber die Grundlagen passen in einen Kommentar: Es ist die Operation, die eine Ein-System-Dichtematrix benötigt ρ und setzt alle seine außerdiagonalen Kohärenzen in einer gegebenen Basis auf Null.
Das klingt genau nach dem, was ich suche. Ein Dephasierungskanal im obigen Fall wäre also einer, der dauert ρ A B zu (was ich bezeichne als) ρ A ' ? Wie auch immer, ich schaue mir die Nielsen & Chuang an, während wir sprechen. Vielen Dank!
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