Messung an gemischten Zuständen

Ich habe einen Konflikt zwischen meinen Vorlesungsunterlagen zur Quantenmechanik, wo es heißt, dass die Wahrscheinlichkeit einen Eigenwert zu messen A ich auf einem gemischten Zustand mit Dichtematrix ρ Ist

Tr ⁡ ( P ich ρ P ich )   ,
Wo P ich ist der Projektor für den entsprechenden Unterraum A ich .

Alle Ressourcen da draußen geben jedoch an, dass die Wahrscheinlichkeit hoch sein sollte Tr ⁡ ( ρ P ich ) , und sogar der Professor gab als Beispiel eine gelöste Prüfung an, bei der die spätere Formel anstelle der ersten angewendet wurde.

Welche Berechnung für die Wahrscheinlichkeit ist richtig? Kann es sein das beide Spuren gleich sind wegen P ich Projektionsoperator sein?

Antworten (2)

Wie vom OP erwähnt, sind beide Versionen gleich. Für ein beobachtbares A des Formulars

A = ∑ k A k P k ,

mit den Projektionen P k 2 = P k = P k † auf dem dem Eigenwert entsprechenden Eigenraum A k , die zu messende Wahrscheinlichkeit A k im Staat ρ wird von gegeben

P ρ ( A k ) = T R ( P k ρ P k ) = T R ( P k ρ ) ,
wobei wir die zyklische Eigenschaft der Ablaufverfolgung verwendet haben. Ein Vorteil, den ich im expliziten Schreiben beider Projektoren sehen kann, ist die Tatsache, dass nach der Messung der Zustand durch gegeben ist

ρ ⟶ ρ ' = P k ρ P k † T R ( P k ρ P k † ) ,
und das ist damit sofort klar ρ ' richtig normalisiert ist. Darüber hinaus legt die Form dieser Gleichungen nahe, dass dieser Begriff einer Messung (projektive Messung) ein Sonderfall eines allgemeineren Begriffs einer Messung ist, vgl. dies und dies .

Diese Dinge werden ausführlich zB in Nielsen und Chuang diskutiert. Quantenberechnung und Information. Ausgabe zum 10. Jahrestag , Abschnitt 2.2. und 2.4. Siehe auch diesen PSE-Beitrag .

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich werde diese zusätzlichen Ressourcen prüfen, um tiefer in das Thema einzusteigen
@Jaime_mc2 Ich habe einen weiteren Verweis auf einen Beitrag auf dieser Seite hinzugefügt, der von Interesse sein könnte.

Letzteres ist richtig.

Durch die zyklische Eigenschaft des Trace.

T R ( ρ P ich ) = T R ( P ich Σ ich | ψ ich ⟩ ⟨ ψ ich | )
= T R ( Σ ich ⟨ ψ ich | P ich | ψ ich ⟩ )

Dies entspricht dem Erwartungswert des Operators ⟨ P ich ⟩ (die Wahrscheinlichkeit der Messung).

Der Wikipedia-Artikel hat auch eine gute Erklärung https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix#%3A%7E%3Atext%3DIn_quantum_mechanics%2C_a_density%2Cstate_of_a_physical_system.%26text%3DDensity_matrices_are_thus_crucial%2Cquantum_decoherence%2C_and_quantum_information.?wprov=sfla1

Danke für deine schnelle Antwort. Ich habe gerade gesehen, dass die Spur eines Produkts in dem Sinne kommutativ ist T R ( A B ) = T R ( B A ) . Könnten wir das nicht verwenden, um zu bekommen T R ( P ich ρ P ich ) = T R ( ρ P ich P ich ) = T R ( ρ P ich ) seit P ich 2 = P ich wegen P ich Beamer sein?
Das Gute am Trace us ist, dass Sie die Reihenfolge verschieben können, um schnell Erwartungswerte zu finden. Ich bin mir bei diesem bestimmten Operator nicht sicher, aber wenn P ich 2 = P ich dann wäre es das gleiche ja.
Sie können \langle und \rangle verwenden, um zu erhalten ⟨ Und ⟩ statt \bra und \ket.
@Jaime_mc2 Der Trace ist nicht kommutativ, er ist zyklisch. Betrachten Sie tr(A B C), es unterscheidet sich von tr(B A C).
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