Was ist die Mindestanzahl trennbarer reiner Zustände, die benötigt wird, um beliebige trennbare Zustände zu zerlegen?

Zunächst einmal ist Ihr Problem eine spezielle Version eines allgemeineren Problems, nämlich das Finden der minimalen Anzahl von Zuständen, die die Verschränkung der Formation minimieren, das heißt, wenn ein Zustand gegeben ist$\rho$auf AB$\equiv \mathbb C^D\otimes \mathbb C^{D'}$, finde die Zerlegung

Ihr Problem ist nur die Variante davon, bei der der Zustand eine Verschränkung der Formation Null hat.

Dies ist ein gut untersuchtes Problem und wiederum ein Spezialfall einer sogenannten „konvexen Dachkonstruktion“. Uhlmann zum Beispiel gibt an, dass dies für ein solches Problem höchstens der Fall ist$(DD')^2+1$Zustände werden für die optimale Zerlegung benötigt (Proposition 2.1).

Es ist wahrscheinlich, dass es für das spezielle Problem der Formationsverschränkung oder das gegebene Problem trennbarer Zustände bessere Schranken gibt. In der Literatur konnte ich keine finden, aber man sollte in der Lage sein, eine nach folgenden Gesichtspunkten zu beweisen:

1. Beachten Sie zunächst, dass man die Optimierung auf alle Zerlegungen lockern kann

   $$\rho=\sum p_i\rho_i\,\tag{1}$$ wo man minimiert$\sum p_i S(\mathrm{tr}_B\rho_i)$, da die Entropie konkav ist, dh das Minimum wird immer (auch) rein erreicht$\rho_i$.

2. Daher können wir stattdessen Zerlegungen der Matrix mit reduzierter Dichte betrachten$\rho^A = \sum p_i \rho_i^A$-- jede solche Zerlegung ergibt sich aus einer Zerlegung (1) von$\rho$(zB durch Schreiben$p_i\rho_i^A$als$M_k\rho M_k^\dagger$mit einem POVM$M_k$und bewerben$M_k\otimes I$Zu$\rho$).

3. Betrachten Sie nun eine optimale Zerlegung$\rho^A = \sum p_i \rho_i^A$. Wenn es mehr als hat$D^2$Begriffe, die$\rho_i^A$muss linear abhängig sein. So können wir das Gewicht von einigen verringern$\rho_j^A$ganz nach unten auf Null durch Verschieben der Gewichte aller anderen$\rho_i^A$(halten$p_i\ge0$!). Aufgrund der Konkavität ändert dies wiederum nicht die durchschnittliche Verschränkung.

4. Wir haben jetzt eine optimale Zerlegung$\rho^A=\sum p_i\rho^A_i$mit$D^2$Bedingungen. Dies ergibt eine Zerlegung von$\rho$,$\rho=\sum p_i \rho_i$, was minimiert$\sum p_i S(\rho_i^A)$(wie unter 2. beschrieben). Wir können jetzt jeden zerlegen$\rho_i$in ihrer Eigenbasis (die höchstens$DD'$Begriffe), was insgesamt ergibt$D^3D'$Bedingungen.

5. Es gibt wahrscheinlich Raum für Verbesserungen: Zum Beispiel könnte man jeden der neu schreiben$\rho_i^A$auf einer Basis von reinen Zuständen$|\phi_{k,i}\rangle\langle\phi_{k,i}|$. Eine solche Basis hat höchstens Größe$D^2+1$($D^2$die Dimension des konvexen Raums ist), und die Koeffizienten sind$\mathrm{tr}(\rho_i^A|\phi_k\rangle\langle\phi_k|)$und damit positiv. Auch hier ergibt die Konvexität eine optimale Zerlegung mit rein$\rho_i^A$Und$D^2$Bedingungen. Es bleibt nur noch das entsprechende zu zerlegen$\rho_i^B$, was insgesamt ergibt$(D^2+1)D'$Bedingungen.

Wie oben erwähnt, liefert der Satz von Caratheodory eine Obergrenze von$(D D')^2$, aber es ist nicht immer streng. Beispielsweise benötigt man für zwei Qubits nie mehr als$M=4$Bedingungen (siehe hier ). Es stellt sich heraus, dass der allgemeine Fall nicht trivial ist und in der Literatur untersucht wurde. Siehe zum Beispiel dieses Papier und die dort zitierten Arbeiten.

Ich persönlich interessiere mich für das ähnliche Problem der Bestimmung der minimalen Anzahl notwendiger Produktbegriffe, bei dem die Einparteienstaaten jedoch nicht rein sein müssen. Dieses Problem ist weniger untersucht und scheint auch nicht trivial zu sein (ich hatte mich in der Vergangenheit davon überzeugt$\min \{ D^2, D'^2 \}$Begriffe sollten immer ausreichen, aber anscheinend habe ich mich auf ein falsches Argument verlassen).

Es ist offensichtlich nicht immer möglich – betrachten Sie zum Beispiel einen reinen verschränkten Zustand. In diesem speziellen Fall ist die Zerlegung eindeutig und enthält nur einen Term, den verschränkten Zustand selbst$\rho=\lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert$.

Bei einem beliebigen Zustand kann es schwierig sein festzustellen, ob Sie eine Zerlegung finden können, die nur trennbare Zustände enthält, aber hier ist ein Vorschlag, der hilfreich sein könnte: Sie könnten die Eigenwerte von überprüfen$\rho$.

1. Jede Zersetzung$\sum_j \lvert\psi_j\rangle\langle\psi_j\rvert$kann nur enthalten$\lvert\psi_j\rangle$orthogonal zu allen Eigenzuständen mit Eigenwerten gleich Null.

2. Falls eine Teilmenge der Nicht-Null-Eigenwerte entartet ist und verschränkten Zuständen entspricht, können Sie versuchen, lineare Kombinationen davon zu konstruieren, die nicht verschränkt sind.

Hier ist ein Beispiel: Betrachten Sie den Staat$\rho=\frac{1}{2}(\lvert00\rangle+\lvert11\rangle)(\langle.\rvert)+\frac{1}{2}(\lvert00\rangle-\lvert11\rangle)(\langle.\rvert)$. Es hat zwei unterschiedliche Eigenwerte,$\frac{1}{2}$Und$0$, beide degenerieren. Daher enthält keine Zerlegung die Terme$(\lvert01\rangle \pm \lvert10\rangle)(\langle . \rvert)$. Da außerdem die Eigenwerte für$(\lvert00\rangle \pm \lvert11\rangle)(\langle . \rvert)$entartet sind, ist die Dichtematrix auch diagonal in jeder Basis, die eine lineare Kombination dieser Zustände verwendet. Wir könnten zum Beispiel verwenden

$\{(\lvert 00\rangle+\lvert 11\rangle)\pm(\lvert 00\rangle+\lvert 11\rangle)\}= \{\lvert00\rangle,\lvert11\rangle\}$,

also kann der Zustand auch geschrieben werden$\rho=\frac{1}{2}\lvert00\rangle\langle00\rvert+\frac{1}{2}\lvert11\rangle\langle11\rvert$.