Kann ein Single-Qubit-Zustand nicht trivial zu einem nicht reinen Zustand erweitert werden?

Stellen Sie sich einen generischen Single-Qubit-Zustand vor

ρ = λ 1 | λ 1 ⟩ ⟨ λ 1 | + λ 2 | λ 2 ⟩ ⟨ λ 2 | ∈ H S .
Ich bin daran interessiert zu verstehen, was die möglichen Erweiterungen von sind ρ , also die Staaten ρ ~ ∈ H S E so dass tr E ⁡ ( ρ ~ ) = ρ . Es ist relativ einfach, die allgemeine Struktur von reinen Erweiterungen zu finden, aber weniger im allgemeineren Fall von nicht-reinen Erweiterungen.

Insbesondere ist es möglich, eine nicht-triviale Erweiterung von zu haben ρ Was ist keine Reinigung ?

Mit nicht trivial meine ich hier, dass es auch die damit verbundene Unsicherheit verringern muss ρ . Das bedeutet keine trivialen Erweiterungen der Form ρ ~ = ρ ⊗ σ , und keine Erweiterungen, die durch einfaches Anhängen eines Satzes von orthonormalen Zuständen an die Eigenvektoren von erstellt werden ρ , also keine Erweiterungen des Formulars ρ ~ = ∑ k λ k | λ k ⟩ ⟨ λ k | ⊗ σ k mit λ k die Eigenwerte von ρ .

Antworten (1)

Sicher. Nehmen Sie einfach eine zufällige Reinigung mit einem großen Reinigungsraum C 2 ⊗ C D , und verfolgen Sie die C D Komponente.

Um ein zufällig erfundenes Beispiel zu geben,

ρ = ( .25 .20 .10 .05 .20 .25 .00 .05 .10 .00 .25 − .15 .05 .05 − .15 .25 )
ist eine Reinigung des Staates
ρ A = ( .50 .05 .05 .50 )   .

Dass das Beispiel nicht mit den Sonderformen kompatibel ist ρ ~ Sie oben angeben, kann direkt aus den Eigenwerten von überprüft werden ρ , die mit den Formularen nicht kompatibel sind ρ ~ Sie geben oben - für beide ρ ~ , es gilt, dass die Eigenwerte von ρ kann als Summe zweier Eigenwerte von geschrieben werden ρ ~ jeweils, was leicht getestet werden kann, um nicht der Fall zu sein.

Um das letzte Argument näher zu erläutern:
Let ρ ~ = ∑ λ k | λ k ⟩ ⟨ λ k | ⊗ σ k (was die erste Reinigung beinhaltet, wenn überhaupt σ k sind gleich). Bezeichne mit μ ich ( σ k ) die Eigenwerte von σ k . Dann sind die Eigenwerte von ρ ~ Sind

τ ich , k = λ k μ ich ( σ k )   .
Somit haben wir das
∑ ich τ ich , k = λ k
(als T R σ k = 1 ) , dh jeweils zwei (wobei "zwei" die Dimension der Reinigung ist) Eigenwerte von ρ ~ addieren sich zu einem Eigenwert λ k von ρ .
Es lässt sich leicht nachprüfen, dass diese Eigenschaft für das Beispiel nicht gilt.

Beachten Sie, dass dieser Reichtum an Erweiterungen genau ein Problem bei der Berechnung der gequetschten Verschränkung ist , bei der man über (nicht reine) Erweiterungen beliebiger Dimensionen optimiert.

Ah, ich glaube, ich sehe es jetzt, danke. Nur ein paar Anmerkungen. Ich schätze, Sie wollten schreiben " kann als Produkt zweier Eigenwerte geschrieben werden (was immer noch nicht ganz genau zu sein scheint, aber ich verstehe, was Sie meinen)? Kennen Sie auch eine Referenz, in der die allgemeine Struktur von Zustandserweiterungen diskutiert wird?
@glS In der Tat, Produkt. Und ich stimme zu, es ist ein bisschen mehrdeutig, aber mit ein bisschen Nachdenken sollte es klar sein? (Ich kann eine Formel schreiben, wenn Sie denken, dass es hilft. Ich gebe zu, dass ich dieses Argument nur gefunden habe, während ich die Antwort eingetippt habe - ursprünglich sagte ich nur: "Es ist zufällig, also wird es diese Eigenschaften nicht haben.") . Ich bin mir nicht sicher, wo ich etw. finden soll. darüber. Sie können Papiere über gequetschte Verschränkung (oder Christandls Doktorarbeit?) ausprobieren.
ja ja das ist kein problem. Ich würde sagen, dass das Spektrum von ρ ⊗ σ ist durch die Produkte der Eigenwerte von gegeben ρ Und σ , und für den anderen Fall haben wir eine einfache Verallgemeinerung davon. Ich werde das überprüfen, danke
@glS Warte, nein, ich hätte erst denken sollen (nicht genug Kaffee?). Ich meine ja Summe: Wenn du die Erweiterung verfolgst, siehst du, dass die Eigenwerte sind λ k T R σ k , die tatsächlich die Summe zweier Eigenwerte der Erweiterung sind (nämlich λ k μ ich ( σ k ) , mit μ ich ( σ k ) die Eigenwerte von σ k .
Habe die Antwort bearbeitet.
äh, ja natürlich. Ich dachte an die Eigenwerte der Reinigung, die ja Produkte der Eigenwerte der Komponenten sind, während Sie darauf anspielten, wie sich diese Eigenwerte auf den Ausgangszustand beziehen. Alles klar jetzt.
Kann ein Single-Qubit-Zustand nicht trivial zu einem nicht reinen Zustand erweitert werden?
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