Ist die Teilspur die Umkehroperation des Kronecker-Produkts?

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Ist die Teilspur die Umkehroperation des Kronecker-Produkts?

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Physik
Hilbert-Raum
Quantenzustände
Dichteoperator
Quanteninformation

Andreas

Informatikstudent hier, der sich für Quanteninformationstheorie interessiert.

Angenommen, ich habe diese reinen Zustände:

[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$ Und

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$

Das Kronecker-Produkt davon ist:

[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$

Durch die Verwendung von Teilspuren kann ich Informationen über die ursprünglichen Zustände extrahieren: Und wenn ich sie erneut tensormultiplizieren würde, würde ich die vorherige 4x4-Matrix zurückerhalten:

Unten ist ein kurzer Python-Code, der für das obige Beispiel funktioniert. Es funktioniert jedoch nicht für gemischte Zustände, wie Sie rechts in der Konsole sehen können. Wenn wir die beiden aus der 4x4-Matrix extrahierten 2x2-Dichtematrizen tensorieren, erhalten wir nicht die ursprüngliche 4x4-Matrix. Meine Frage ist, dass eine Teilverfolgung nur reine Zustände ohne Informationsverlust wiederherstellen kann?

Sunyam

Kurzer Kommentar: Wenn der Zustand des Systems mit zwei Subsystemen (

i = 1, 2

$i=1,2$ ) ist ein verschränkter Zustand, das gegenseitige Informationsmaß ist endlich, dh

I [ρ_{1 + 2}^{}] = - \sum_{i \neq j = 1, 2}^{} T r_{i} [T r_{j} [ρ_{1 + 2}^{}] \ln T r_{j}^{} [ρ_{1 + 2}^{}]] + T r_{1 + 2}^{} [ρ_{1 + 2}^{} \ln ρ_{1 + 2}^{}] \neq 0

$I[\rho_{1+2}^{}]=-\sum_{i \neq j =1,2}^{}Tr_{i}[Tr_{j}[\rho_{1+2}^{}]\ln Tr_{j}^{}[\rho_{1+2}^{}]]+Tr_{1+2}^{}[\rho_{1+2}^{}\ln \rho_{1+2}^{}] \neq 0$ . Aber der direkte Produktzustand, den Sie aus teilweise verfolgten Dichtematrizen konstruieren, hat eindeutig keine gegenseitigen Informationen.

mavzolej

Ich schlage vor, dass Sie Abschnitt 2.4.3 von Nielsen & Chuang oder einen anderen Standardtext über Quanteninformation lesen. Kurz gesagt - die Teilspur über einen bestimmten Unterraum im Tensorprodukt hat die Bedeutung, über diesen Unterraum zu mitteln. (Im Folgenden meine ich mit „Zustand“ eine Dichtematrix). Wenn Ihr Zustand nicht verschränkt ist, dh ein Tensorproduktzustand ist, dann ist das Nehmen einer Teilspur über einen bestimmten Unterraum gleichbedeutend damit, den entsprechenden Faktor des Produkts wegzuwerfen und alle anderen Terme unverändert zu lassen. Bei verschränkten Zuständen ist die Situation komplizierter.

Antworten (1)

Ist die Teilspur die Umkehroperation des Kronecker-Produkts?

Kurzer Kommentar: Wenn der Zustand des Systems mit zwei Subsystemen ( $i=1,2$ ) ist ein verschränkter Zustand, das gegenseitige Informationsmaß ist endlich, dh $I[\rho_{1+2}^{}]=-\sum_{i \neq j =1,2}^{}Tr_{i}[Tr_{j}[\rho_{1+2}^{}]\ln Tr_{j}^{}[\rho_{1+2}^{}]]+Tr_{1+2}^{}[\rho_{1+2}^{}\ln \rho_{1+2}^{}] \neq 0$ . Aber der direkte Produktzustand, den Sie aus teilweise verfolgten Dichtematrizen konstruieren, hat eindeutig keine gegenseitigen Informationen.
Ich schlage vor, dass Sie Abschnitt 2.4.3 von Nielsen & Chuang oder einen anderen Standardtext über Quanteninformation lesen. Kurz gesagt - die Teilspur über einen bestimmten Unterraum im Tensorprodukt hat die Bedeutung, über diesen Unterraum zu mitteln. (Im Folgenden meine ich mit „Zustand“ eine Dichtematrix). Wenn Ihr Zustand nicht verschränkt ist, dh ein Tensorproduktzustand ist, dann ist das Nehmen einer Teilspur über einen bestimmten Unterraum gleichbedeutend damit, den entsprechenden Faktor des Produkts wegzuwerfen und alle anderen Terme unverändert zu lassen. Bei verschränkten Zuständen ist die Situation komplizierter.

glS · Answer 1

Es ist in dem Sinne, dass ein beliebiges Paar von Zuständen gegeben ist $\rho$ Und $\sigma$ , du hast

\begin{aligned} {Tr}_{2} (ρ \otimes σ) & = ρ, \\ {Tr}_{1} (ρ \otimes σ) & = σ . \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Tr}_2(\rho\otimes\sigma)&=\rho,\\ \operatorname{Tr}_1(\rho\otimes\sigma)&=\sigma. \end{align}$ Dies geschieht, weil

ρ \otimes σ

$\rho\otimes\sigma$ stellt einen Produktzustand dar, in dem die beiden Systemteile voneinander unabhängig sind.

Sobald Sie jedoch Verstrickung haben, hört dies auf, wahr zu sein. Mathematisch ausgedrückt hört es auf zu gelten, sobald Sie die Teilspur einer Summe von Tensor/Kronecker-Produkten nehmen.

Zum Beispiel, wenn $E_+$ Und $E_-$ die zwei zweidimensionalen Matrizen bezeichnen, die Sie definiert haben, dann können Sie dies leicht überprüfen, indem Sie die Teilspur von nehmen

E_{+} \otimes E_{+} + E_{-} \otimes E_{-}

$E_+\otimes E_++E_-\otimes E_-$ gibt Ihnen etwas völlig anderes als beide

E_{+}

$E_+$ Und

E_{-}

$E_-$ .

Ist die Teilspur die Umkehroperation des Kronecker-Produkts?

Andreas

Sunyam

mavzolej

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glS

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