Wie berechnet man die reinen Erweiterungen eines gegebenen gemischten Zustands?

1. Die Tatsache, dass jeder gemischte Zustand$\rho$Einwirken auf endlichdimensionale Hilbert-Räume kann als reduzierter Zustand eines reinen Zustands angesehen werden$|\psi\rangle$auf einem größeren Hilbert-Raum ist als Reinigung bekannt , siehe diese Wikipedia-Seite , wo auch der Algorithmus angegeben ist.

2. Im Fall von OP

   $$\rho~\in~\mathcal{B}(\mathbb{C}^n\otimes \mathbb{C}^n),$$ man kann einen reinen Zustand wählen$|\psi\rangle$im folgenden Hilbertraum $$|\psi\rangle~\in~\mathbb{C}^n\otimes \mathbb{C}^n\otimes \mathbb{C}^n\otimes \mathbb{C}^n.$$

Es ist ein allgemeines Ergebnis, dass jeder gemischte Quantenzustand als reduzierter Zustand eines reinen Zustands in einem größerdimensionalen Hilbert-Raum angesehen werden kann. Dies wird als Reinigung bezeichnet , und einige Leute bezeichnen die Kraft dieser Idee sogar als „Kirche des größeren Hilbert-Raums“.

Es gibt eine kanonische Art, eine Reinigung zu konstruieren, die den Vorteil hat, dass sie sofort zeigt, was die minimale Dimension des größeren Hilbert-Raums sein muss. So konstruieren Sie also eine Reinigung: Let$\rho$ein Zustand in einem Hilbert-Dimensionsraum sein$d$mit Eigenvektoren$\{|\phi_i\rangle\}_{i=1}^d$. Dann

$|\psi\rangle=\sum_{i=1}^d|i\rangle\otimes|\phi_i\rangle$

ist eine Reinigung von$\rho$, Wo$\{|i\rangle\}$ist ein orthonormaler Satz von Vektoren.

Man sieht also, dass es immer möglich ist, eine Reinigung zu konstruieren, und außerdem muss der vergrößerte Hilbert-Raum im Allgemeinen mindestens doppelt so groß sein wie der ursprüngliche.

Sie sagen richtig, dass ein solcher Zustand nicht einzigartig sein wird. Wählen Sie beispielsweise die statistische 50%-50%-Mischung aus zwei zufälligen reinen Basiszuständen aus${\mathbb C}^n\otimes {\mathbb C}^n$. Jeder dieser beiden Zustände kann mit einem von zwei orthogonalen Zuständen im dritten verschränkt sein${\mathbb C}^n$; was diese beiden Zustände im Hilbert-Raum des dritten Faktors sind, ist jedoch völlig unbestimmt.

Selbst wenn Sie also eine konstruktive Methode hätten, um den reinen Zustand im dreiteiligen Hilbert-Raum zu finden, würden Sie keine eindeutigen Ergebnisse erzielen.

Allerdings gibt es noch ein anderes, viel schwerwiegenderes Problem mit Ihrem Vorschlag: Er hat in fast allen Fällen überhaupt keine Lösungen. In der Tat ist es einfach, diese Tatsache durch einfaches Zählen von Freiheitsgraden zu demonstrieren. Reine Staaten in${\mathbb C}^n\otimes {\mathbb C}^n$werden angegeben durch$n^2$verschiedene komplexe Zahlen (eine davon, die gesamte komplexe Normalisierung, ist unphysikalisch).

In ähnlicher Weise ist eine allgemeine Dichtematrix auf diesem Raum a$n^2\times n^2$Hermitische Matrix, so dass es enthält$n^4$unabhängige reale Parameter (einer davon ist die Spur, die wahrscheinlich auf eins gesetzt werden sollte). Allerdings ist das größer als$2n^3$Anzahl der realen Parameter aus$n^3$komplexe Parameter einer Wellenfunktion in${\mathbb C}^n\otimes {\mathbb C}^n\otimes{\mathbb C}^n.$Zumindest für$n\gt 2$, es ist größer. Bis zu einer Teilmenge von Fällen mit Maß Null werden Sie also keinen reinen Zustand finden können, der sich auf den gegebenen gemischten Zustand reduziert. Die Vielfalt der erforderlichen Ergebnisse (Dichtematrizen) ist viel größer als die Vielfalt der Zutaten (reine Drei-Block-Zustände), die Sie verwenden können, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen.

Wenn Sie nur eine Dichtematrix für einen der drei Blöcke hätten und nicht für zwei, könnten Sie sie natürlich lösen. Zumindest würde das Zählen der Parameter die Existenz einer Lösung für eine generische Dichtematrix nicht unmöglich machen.

Gegeben sei ein willkürlicher Zustand$\rho\in\mathcal B(\mathbb C^n)$dessen Eigenzerlegung lautet

Daraus können wir einiges schließen:

1. Ein generischer Zustand$\rho$kann einen Rang bis zu haben$n$, und daher ist die minimale Dimension des Reinigungsraums, der benötigt wird, um die Reinigungen beliebiger Zustände aufzunehmen$m=n$.
2. Die zweigeteilte Struktur in dem im OP verwendeten Zustand ist in dieser Diskussion nicht wichtig. Wenn$\rho\in\mathcal B(\mathbb C^n\otimes\mathbb C^n)$, das bedeutet nur, dass die Dimension des Raums ist$n^2$, und alles andere folgt wie im allgemeinen Fall gezeigt, in dem wir nicht auf die partite Struktur der Zustände verweisen.
3. Gl. (B) macht sehr deutlich, was die möglichen Reinigungen sind$\rho$sind: Die Freiheit liegt ganz und gar nur in der Wahl einer Orthonormalmenge$\mathrm{rank}(\rho)$Vektoren aus einem beliebigen Nebenraum (mit der einzigen Einschränkung, dass dieser Raum groß genug sein muss, um diese Anzahl orthogonaler Elemente aufzunehmen).

Als letzte Bemerkung sei darauf hingewiesen, dass das, was in diesem Zusammenhang als Reinigung bezeichnet wird , aus mathematischer Sicht gleichbedeutend mit der Charakterisierung positiver Operatoren ist$B$wie diese Operatoren so dass$B=A A^\dagger$für einige$A$. Das heißt, das Problem der Reinigung eines gegebenen Zustands$\rho$ist dem Finden ähnlich$A$so dass$A^\dagger A=B$für einige gegeben$B\ge0$. Um dies zu sehen, müssen wir uns nur darüber im Klaren sein, dass die Teilverfolgungsoperation auf einem Rang-1-Projektor,$\operatorname{Tr}_2(v v^*)$, wird äquivalent als Matrixmultiplikation der Operatoren mit angegeben$v,v^*$als Vektorisierung. Genauer gesagt meine ich das für jede (möglicherweise rechteckige) Matrix$A$,