Beweis für starke Konvexität des Spurabstands

Ich versuche, dem Beweis von Nielsen und Chuang zu folgen (Gleichung 9.49 in Kapitel 9, Seite 408). Ich gebe es hier der Vollständigkeit halber wieder.

Mit Spurabstand definiert als D ( ρ , σ ) = 1 2 T R ( | ρ − σ | ) ist bekannt, dass es einen Projektor gibt P , so dass D ( ρ , σ ) = T R ( P ( ρ − σ ) ) . Wir wollen ein Ergebnis für eine probabilistische Zustandsmischung beweisen, ∑ ich P ich ρ ich Und ∑ ich Q ich σ ich .

Es gibt einen Projektor P so dass

D ( ∑ ich P ich ρ , ∑ ich Q ich σ ) = ∑ ich P ich T R ( P ρ ich ) − ∑ ich Q ich T R ( P σ ich ) = ∑ ich P ich T R ( P ( ρ ich − σ ich ) ) + ∑ ich ( P ich − Q ich ) T R ( P σ ich ) ≤ ∑ ich P ich D ( ρ ich , σ ich ) + D ( P ich , Q ich )

Hier, D ( P ich , Q ich ) ist die klassische Wahrscheinlichkeitsdistanz gegeben durch D ( P ich , Q ich ) = 1 2 ∑ ich | P ich − Q ich | für jedes Paar von Wahrscheinlichkeitsvektoren.

Ich verstehe den allerletzten Schritt nicht, insbesondere den zweiten Begriff und wie T R ( P σ ich ) verschwunden. Warum ist D ( P ich , Q ich ) = 1 2 ∑ ich | P ich − Q ich | ≥ ∑ ich ( P ich − Q ich ) T R ( P σ ich ) ?

Antworten (2)

Was Sie vermissen, ist das

D ( X , Y ) = max P T R | P ( X − Y ) |   ,
wo das Maximum über allen Projektoren liegt P .

Dann folgt die Ungleichung, da Sie eine Maximierung ersetzen – der gesamte Ausdruck wird über ein P maximiert – durch viele Optimierungen über unabhängig P , die somit optimalere Werte annehmen können (zusammen mit der Dreiecksungleichung):

max P T R | P ( ∑ X ich ) | ≤ ∑ max P T R | P X ich |   ,
mit X ich alle Terme werden in der zweiten Zeile summiert.

Darüber hinaus wird es verwendet T R [ P σ ich ] ≤ T R [ σ ich ] = 1 .

Lassen Sie mich hinzufügen, dass diese Variationscharakterisierung der Spurennorm --

“ X “ 1 = T R | X | = max P T R | P X |
über alle Projektoren P -- ist äußerst nützlich, also ist es gut, es im Hinterkopf zu behalten. Es ist ein Sonderfall des ebenfalls sehr nützlichen Min-Max-Theorems .

Um Ihre Frage vollständig zu beantworten, um das zu verstehen

∑ ich ( P ich − Q ich ) ≤ D ( P ich , Q ich ) = 1 2 ∑ ich | P ich − Q ich |
(während Sie naiv versucht sein könnten, zu binden ∑ ich ( P ich − Q ich ) von ∑ ich | P ich − Q ich | = 2 × D ( P ich , Q ich ) ), müssen Sie Gleichung 9.4 verwenden, nämlich
D ( P ich , Q ich ) = max S ∑ ich ∈ S ( P ich − Q ich ) ,
wobei die Maximierung über alle Teilmengen erfolgt S ⊆ A des vollständigen Indexsatzes. Also haben wir
∑ ich ( P ich − Q ich ) = ∑ ich ∈ A ( P ich − Q ich ) ≤ max S ∑ ich ∈ S ( P ich − Q ich ) = D ( P ich , Q ich ) ,
wie erforderlich, um den Beweis zu vervollständigen.

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