Methoden zur Unterscheidung zwischen reinen/gemischten Zuständen und verschränkten/trennbaren Zuständen

Lassen Sie mich zunächst Ihre Fragen beantworten:

Q1: Nein, die partielle Transposition wirkt sich auf einen Teil des Subsystems aus. Um dies klarer zu machen, lassen Sie mich das Kriterium konkret definieren: Let$\mathcal{H}_1,\mathcal{H}_2$zwei Hilberträume sein, dann ist die partielle Transponierung auf dem zweiten System über definiert

$$^{PT}: \mathcal{B}(\mathcal{H}_1\otimes \mathcal{H}_2)\to \mathcal{B}(\mathcal{H}_1\otimes \mathcal{H}_2);\quad A\otimes B\mapsto A\otimes B^T$$

Offensichtlich definiert dies nur die Teilspur auf Produktzustände, aber der Rest wird durch Linearität erledigt. Nun ist ein Qubit (!)-Zustand genau dann verschränkt, wenn die partielle Spur auf irgendeinem Subsystem nicht positiv ist. Dies ist jedoch gleichbedeutend mit der Aussage, dass ein Zustand genau dann verschränkt ist, wenn die Teilspur auf dem zweiten Teilsystem nichtnegativ ist, da die Teilspur auf dem ersten Teilsystem abbilden würde$A\otimes B\mapsto A^T\otimes B=(A\otimes B^T)^T$, dh setzt man die Teilspur auf dem zweiten Teilsystem mit der Transposition auf das Gesamtsystem zusammen, erhält man die Teilspur auf dem ersten Teilsystem. Da die Transposition die Eigenwerte invariant lässt, bleibt ein Zustand, der unter der partiellen Transposition eines Subsystems nicht positiv ist, unter der partiellen Transposition des anderen Systems nicht positiv.

Lassen Sie mich jedoch betonen (wie Sie sagten), dass dieses Kriterium nicht ausreicht , um die Trennbarkeit auf einem größeren System als einem System zu beweisen, das aus Qubits und Qutrits besteht!

F2: Reinheit und Verschränkung sind völlig unterschiedliche Konzepte in dem Sinne, dass es bei Reinheit um ein einzelnes System geht, während es bei Verschränkung um eine Zweiteilung des Systems geht, daher würde ich nicht wirklich eine nette Rangcharakterisierung erwarten. Allerdings, wenn Sie einen reinen Zustand haben$\rho=|\psi\rangle\langle \psi|$, dann kann man tatsächlich etwas sagen, denn ein solcher reiner Zustand ist genau dann verschränkt, wenn seine reduzierte Dichtematrix rein ist - und da dies eine Charakterisierung mit Matrixrängen hat, hat man so einen Zusammenhang. Dieser Zusammenhang ist jedoch für gemischt verschränkte/trennbare Zustände falsch und ich weiß nicht, ob ein solcher Zusammenhang besteht.

Lassen Sie mich die Behauptung kurz beweisen: Let$|\psi\rangle =\sum_{i=1}^k \lambda_i |\psi^1_i\rangle|\psi^2_i\rangle$ein beliebig gemischter Zustand in seiner Schmidt-Zerlegung sein (man beachte, dass der Zustand trennbar ist, gff$k=1$. Nun ist die reduzierte Dichtematrix des ersten Teilsystems leicht ersichtlich als:

$$\rho_{red}= \sum_{i=1}^k \lambda_i^2 |\psi^1_i\rangle\langle \psi^1_i|$$

die als Rang den Schmidt-Rang hat$\rho$. Da ein Zustand genau dann rein ist, wenn seine Dichtematrix den Rang eins hat, ist die reduzierte Dichtematrix genau dann rein, wenn der Zustand trennbar war.

Eigentlich ist diese Charakterisierung genau Aufgabe 2.78 in Nielsen&Chuang!

Q3: Das wurde eigentlich nicht gesagt, aber Sie sagen, dass Sie auf diese Bedingung gestoßen sind$\rho$ist rein, wenn es Rang eins ist. Lassen Sie mich das Problem etwas klarstellen: Per Definition$\rho$ist rein, wenn es von der Form ist$|\psi\rangle\langle \psi|$für einige$\psi$. Offensichtlich ist diese Matrix Rang eins, da sie einen Eigenvektor mit Eigenwert 1 hat (nämlich$|\psi\rangle$- vorausgesetzt der Zustand ist normalisiert) und alle anderen Eigenvektoren sind 0 (alle anderen Zustände einer orthonormalen Basis umfassend$|\psi\rangle$). Wenn andererseits ein Zustand Rang 1 hat, bedeutet dies, dass er nur einen Eigenvektor hat$|\psi\rangle$mit Eigenwert 1 und alle anderen Eigenwerte sind Null. Da die Dichtematrix positiv ist, impliziert dies über die spektrale Zerlegung$\rho=|\psi\rangle\langle \psi|$.

Ihr Problem: Lassen Sie mich zunächst auf einige Missverständnisse und Fehlnotationen und Probleme mit der Art und Weise hinweisen, wie Sie Ihr Problem angehen. Später werde ich eine Lösung geben.

Das schreibst du$\tau:\mathcal{H}_1\to\mathcal{H}_1$ist eine lineare Abbildung. Dies bedeutet, dass die Zustände gegeben sind$|x_i\rangle$, die Karte$\tau$tatsächlich durch eine Matrix dargestellt wird, die ich bezeichnen werde$T$. Natürlich,$TT^*$ist dann ein positiver Operator und man könnte sagen, dass es ein "Zustand" ist, aber ich glaube nicht, dass man ihm dieselbe physikalische Bedeutung zuschreiben kann. Dann schreibst du:

$$\sum_{i,j} |\tau x_i \rangle \langle \tau x_j | |y_i\rangle\langle y_j| = \sum_{i,j} |\rho x_i \rangle \langle x_j| |y_i\rangle \langle y_j|$$

Diese Zeile ist eigentlich falsch. Du kannst nicht einfach ziehen$\tau$auf die andere Seite, wie Sie möchten. Das Problem ist, dass die Matrix auf der rechten Seite höchstwahrscheinlich nicht einmal hermitesch ist, während die Matrix auf der rechten Seite es definitiv ist! Daher ist alles, was folgt, falsch.

Dennoch gibt es noch ein weiteres Problem, das ich ansprechen möchte: Sie möchten die Trennbarkeit beweisen, indem Sie zeigen, dass die partielle Transponierung positiv ist. Lassen Sie mich noch einmal wiederholen: Das ist nicht möglich. Ist die Teiltransponierung nicht positiv, ist der Zustand verschränkt, aber die andere Richtung (Ist der Zustand verschränkt, ist die Teiltransponierung nicht positiv, oder sonst: Ist die Teiltransponierung positiv, ist der Zustand trennbar) gilt nicht Maße außer$2\times 3$Und$2\times 2$. Sie sprechen manchmal von "Qubits", was das implizieren würde$\mathcal{H}_1=\mathcal{H}_2=\mathbb{C}^2$, aber Sie haben dies nicht wirklich angegeben.

Das letzte Problem, und darauf wollte ich vorher hinaus: Sie haben den Bereich der Indizes Ihrer Summe nicht angegeben$|\Psi\rangle$. Wenn es um die Dimension geht$\mathcal{H}_1$, ist die Aussage, die Sie beweisen wollen, im Wesentlichen richtig, wenn nicht, ist die Aussage, die Sie beweisen wollen, völlig falsch.

Meine Lösung:

Wir bekommen also einen Zustand$|\Psi_0\rangle=\sum_{i=1}^k |x_i\rangle|y_i\rangle$(Beachten Sie, dass sich der Zustand in der Schmidt-Zerlegung befindet!). Wir wollen etwas über die Abtrennbarkeit des Staates sagen$|\Psi\rangle=\sum_{i=1}^k |\tau x_i\rangle|y_i\rangle$.

Per Definition$\tau:\mathcal{H}_1\to \mathcal{H}_1$, dh wenn wir das annehmen$\{x_i\}_{i=1}^n$ist eine Basis, die wir definieren können$\tau$über$\tau(x_i)=\sum_j \lambda_{ji} x_j$. Bisher nichts Neues.

Wir fragen jetzt: Wann ist$\Psi$trennbar? Beachten Sie zunächst, dass was auch immer$\tau$Ist,$|\Psi\rangle$ist immer noch rein, weil die Karte auf der Ebene der reinen Zustände definiert ist, zB müssen wir nicht immer zu Dichtematrizen gehen.

Betrachten wir nun das Problem für unterschiedlich viele Elemente in der Summe, also für unterschiedlich$k$In$|\Psi_0\rangle$. Behandeln Sie zuerst die einfachen Fälle:

k=1: Wir haben$|\Psi_0\rangle=|x_1\rangle|y_1\rangle$, was bedeutet, dass wir mit einem trennbaren Zustand beginnen. In diesem Fall,

$$|\Psi\rangle=|\tau x_1\rangle|y_1\rangle=\left(\sum_j \lambda_{1j}|x_j\rangle\right)\otimes |y_1\rangle$$ ist noch trennbar. Dies ist völlig unabhängig von $\tau$.

k=n: Das heißt, wir haben im Wesentlichen einen maximal gemischten Zustand. Um es richtig zu normalisieren, sollten wir schreiben$|\Psi_0\rangle=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n |x_i\rangle|y_i\rangle$. Wir bewerben uns jetzt$\tau$und wir wollen, dass das Ergebnis trennbar ist, dh wir wollen:

$$|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n |\tau x_i\rangle|y_i\rangle=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n \lambda_{ji}|x_j\rangle\right)|y_i\rangle \stackrel{!}{=} |\phi\rangle|\varphi\rangle$$ für einige Staaten $|\phi\rangle$Und $|\varphi\rangle$. Dieses letzte Bit ist das Kriterium für die Trennbarkeit. Beachten Sie nun, dass wir die Summe haben und durch Multilinearität des Tensorprodukts den einzigen Weg erhalten $|\phi\rangle$Und $|\varphi\rangle$wie oben wäre zu haben $|\varphi\rangle=\sum_{i=1}^n |y_i\rangle$, dh der erste Teil muss unabhängig von sein $i$. Das heisst $\sum_{j=1}^n \lambda_{ji}|x_j\rangle$muss gleich einem Zustand sein $|\phi\rangle$unabhängig von $i$, was bedeutet (seit dem $x_i$bilden eine Grundlage), die $\tau$abbilden muss $|x_i\rangle$Zu $\lambda_i |\phi\rangle$(Es kann einen Faktor geben, abhängig von $i$Weil $\lambda_i|\phi\rangle \otimes |\varphi\rangle = |\phi\rangle \otimes \lambda_i|\varphi\rangle$stets).

Das heisst:$|\Psi\rangle$ist trennbar genau dann wenn$\tau$bildet jeden Zustand des Hilbert-Raums ab$\mathcal{H}_1$zu einem Zustand proportional zu$|\phi\rangle$. Der Proportionalitätsfaktor wird durch die Linearität bestimmt – tatsächlich müssen die meisten Zustände auf Null abgebildet werden. Genauer gesagt, die Matrix repräsentiert$\tau$muss Rang eins haben, weil das Bild eindimensional ist. Das bedeutet, dass die Matrix$\tau\tau^*$ist auch Rang eins, wenn und nur wenn$|\Psi\rangle$ist trennbar.

$1<k<n:$Dieser Fall liegt zwischen den beiden obigen Extremfällen. Es ist umständlicher, weil (wenn ich mich nicht irre) das Ergebnis so sein wird$|\Psi\rangle$ist trennbar gdw$\tau$bildet den aufgespannten Vektorraum ab$\{|x_i\rangle\}_{i=1}^k$zu einem willkürlichen oder festen Zustand$|\phi\rangle$, während das Komplement durch überspannt$\{|x_i\rangle\}_{k+1}^n$(wenn wir davon ausgehen, dass alle$x_i$sind orthogonal) willkürlich.