Rekonstruktion der Wellenfunktion aus der Dichtematrix

Question

Rekonstruktion der Wellenfunktion aus der Dichtematrix

Physik
Wellenfunktion
Hilbert-Raum
Quantenzustände
Dichteoperator
Quantenmechanik

sbp

Sag, ich habe einen Zustand,

| Ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ + \exp (ich ϕ) | 1 ⟩) = C_{0} | 0 ⟩ + C_{1} | 1 ⟩ .

$| \Psi \rangle = \frac{1}{\sqrt 2} \left( | 0 \rangle + \exp( \text{i} \phi ) | 1 \rangle \right) = c_{0} | 0 \rangle + c_{1} | 1 \rangle.$

Jetzt konstruiere ich die Dichtematrix (DM),

\hat{ρ} = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | = \frac{1}{2} (| 0 ⟩ ⟨ 0 | + \exp (- ich ϕ) | 0 ⟩ ⟨ 1 | + \exp (ich ϕ) | 1 ⟩ ⟨ 0 | + | 1 ⟩ ⟨ 1 |) .

$\hat \rho = | \Psi \rangle \langle \Psi | = \frac{1}{2} \left( | 0 \rangle \langle 0 | + \exp( - \text{i} \phi )| 0 \rangle \langle 1 | + \exp( \text{i} \phi ) | 1 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | \right).$

Also von DM $\hat \rho$ , kann ich ablesen $|c_{0}|^{2}$ , $|c_{1}|^{2}$ , $c_{0}c_{1}^{*}$ , Und $c_{0}^{*}c_{1}$ . Grundsätzlich $3$ Gleichungen u $4$ Unbekannte.

Gibt es eine Möglichkeit zu rekonstruieren $| \Psi \rangle$ Einmalig aus dem DM, $\hat \rho$ ?

Kosmas Zachos

Einmalig bis zur Gesamtphase, oder?

sbp

@CosmasZachos: Ja natürlich.

TE

Fragen Sie nur nach reinen Zuständen und nicht nach gemischten Zuständen?

sbp

@TEH Ja ab sofort.

Antworten (2)

Rekonstruktion der Wellenfunktion aus der Dichtematrix

Fragen Sie nur nach reinen Zuständen und nicht nach gemischten Zuständen?

Der junge Kindaichi · Answer 1

Beim Lösen finden wir:

\frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & e^{- ich ϕ} \\ e^{ich ϕ} & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} | C_{0} |^{2} & C_{0} C_{1}^{*} \\ C_{1} C_{0}^{*} & | C_{1} |^{2} \end{matrix})

$\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & e^{-i\phi}\\ e^{i\phi} & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} |c_0|^2 & c_0c^*_1\\ c_1c_0^* & |c_1|^2 \end{pmatrix}$

\Rightarrow | C_{0} | = | C_{1} | = \frac{1}{\sqrt{2}}

$\Rightarrow |c_0|=|c_1|=\frac{1}{\sqrt{2}}$

C_{0} C_{1}^{*} = \frac{1}{2} e^{- ich ϕ} \Rightarrow C_{0} = e^{- ich ϕ} C_{1}

$c_0c^*_1=\frac{1}{2}e^{-i\phi}\Rightarrow c_0=e^{-i\phi}c_1$

| ψ ⟩ = C_{0} | 0 ⟩ + C_{1} | 1 ⟩ = C_{0} (| 0 ⟩ + \frac{C_{1}}{C_{0}} | 1 ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{ich χ} (| 0 ⟩ + e^{ich ϕ} | 1 ⟩)

$|\psi\rangle =c_0|0\rangle +c_1|1\rangle =c_0\left(|0\rangle+\frac{c_1}{c_0}|1\rangle \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\chi}(|0\rangle +e^{i\phi}|1\rangle )$

Die Wellenfunktion wäre also bis auf den Phasenfaktor eindeutig $\chi$ .

Tobias Fünke · Answer 2

Wenn du schreibst $c_0 \equiv |c_0|\, e^{i\phi_0}$ Und $c_1 \equiv |c_1|\, e^{i\phi_1}$ , dann kannst du die Wellenfunktion schreiben als

| Ψ ⟩ = e^{ich ϕ_{0}} (| C_{0} | | 0 ⟩ + | C_{1} | e^{ich (ϕ_{1} - ϕ_{0})} | 1 ⟩) .

$|\Psi\rangle = e^{i\phi_0}\left(|c_0| \,|0\rangle + |c_1|\,e^{i(\phi_1-\phi_0)}\,|1\rangle\right)\quad .$

Der zugehörige Dichteoperator ist dann gegeben durch $\rho_{\Psi}\equiv |\Psi\rangle\langle \Psi|$ . Die diagonalen Elemente werden nachgeben $|c_0|$ Und $|c_1|$ und aus den nichtdiagonalen Termen können Sie rekonstruieren $|c_1| \, e^{i(\phi_1-\phi_0)}$ . Allerdings kann man die Wellenfunktion nur bis zur globalen Phase rekonstruieren, was auch intuitiv ist, da zwei Wellenfunktionen $|\Psi\rangle$ Und $|\psi\rangle$ die sich nur durch eine globale Phase unterscheiden, ergeben den gleichen Dichteoperator.

Das habe ich mir auch gedacht. ich kann erhalten $|c_{0}|^{2}$ , $|c_{1}|^{2}$ , Und $\phi_{0}-\phi_{1}$ aus $\hat \rho$ . Natürlich ist es für einige globale Phasen unterbestimmt.

Rekonstruktion der Wellenfunktion aus der Dichtematrix

sbp

Kosmas Zachos

sbp

TE

sbp

Antworten (2)

Der junge Kindaichi

Tobias Fünke

sbp

Was ist die Intuition hinter der Dichtematrix?

Was sind reine Zustände und Dichteoperatoren?

Quantenzustände: Wellenfunktionen oder Operatoren

Warum stellen wir Zustandsvektoren mit Ket-Vektoren dar?

Hilbert-Raum in Diracs Darstellung

Physikalische Bedeutung des gemischten Zustands

Frage zu einem "leeren Ket" und der Notation von Dirac

Warum kann nicht jeder Quantenzustand als Dichtematrix/Operator ausgedrückt werden?

Warum verwendet die Quantenmechanik Dichteoperatoren anstelle von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über den Zustandsraum?

Ist in der Quantenmechanik |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle gleich ψ(x)ψ(x)\psi(x)?