Allgemeine Form, Eigenschaften

Ein Lindblad-Formular

$$\dot \rho = -i[\eta, \rho] + A \rho A^\dagger - \frac 12 A^\dagger A \rho - \frac 12 \rho A^\dagger A$$ hat drei wichtige Eigenschaften:

1. Es ist immer noch lineare Dynamik, in Bezug auf$\rho$.
2. Es ist spurenfrei, unabhängig von der Spur von$\rho$. Das bedeutet, dass sich die Gesamtsumme der Eigenwerte, die bei 1 beginnt, nicht ändert.
3. Es verlässt$\dot\rho$Hermitesch, was wichtig ist, weil nur hermitische Operatoren rein reelle Eigenwerte haben.
4. Es gibt normalerweise einige einfache Kriterien auf$\hat A$an die ich mich nicht mehr wirklich erinnere, die die Positivität des Lindbladians sicherstellen, sodass er die positiven Eigenwerte niemals in negative umwandelt.

Seine allgemeine physikalische Bedeutung ist daher "nicht-einheitliche Dynamik, die dennoch modelliert werden kann, ohne unsere Zustandsmatrix abzuschlachten".

Eine Interpretation, nach der Sie immer greifen können

Wenn Sie mit dieser Definition nicht zufrieden sind, ist der häufigste nichteinheitliche Prozess in der Quantenmechanik die Messung . Lassen Sie mich Ihnen also zeigen, wie Sie jede Lindblad-Form als kontinuierliche Quantenmessung interpretieren können . Dies ist ein üblicher ^{[1] [2]} Weg, um die Einnahme in Betracht zu ziehen$\rho$mit ansonsten einheitlicher Dynamik und Kopplung mit einer kontinuierlichen Messung des Systems.

Eine einfache Messung sieht so aus: Wir bringen einige Qubits mit Energie Hamiltonian$\epsilon ~c^\dagger c$zum System, versetze es in seinen Grundzustand$|0\rangle\langle 0|$, was wir schreiben können als$c c^\dagger$kurz. Wir gehen davon aus, dass das, was auch immer das Qubit ist, mit allen Operatoren usw. pendelt, die ordnungsgemäß auf das "System" einwirken.$\rho$. Das Qubit koppelt dann mit einem Interaktionsterm an das System$\hat v^\dagger c^\dagger + \hat v c$, extrem generisch.

Während einer Zeit$dt/2$das System wird sich dann wie entwickeln

$$\rho ~cc^\dagger \mapsto \rho ~ c c^\dagger - i~\frac{dt}2\left([\eta, \rho] ~ c c^\dagger + \hat v^\dagger \rho ~ c^\dagger - ~\rho ~\hat v~ c\right)$$ Das einzige Problem dabei ist, dass diese letzteren Begriffe noch ein wenig "in der Vergangenheit" liegen; Lassen Sie uns also jeden dieser Begriffe weiterentwickeln $\rho c$und $\rho c^\dagger$einen anderen weiterleiten $dt/2$um einen Effekt zweiter Ordnung zu finden: $$\begin{align} \rho ~c^\dagger \mapsto& \rho ~ c^\dagger - i~{dt\over 2}\left([\eta, \rho] ~ c^\dagger + \hat v \rho ~ c c^\dagger - ~\rho ~\hat v~ c^\dagger c\right)\\ \rho ~c \mapsto& \rho ~ c - i~{dt\over 2}\left([\eta, \rho] ~ c + \hat v^\dagger \rho ~ c^\dagger c - \rho ~\hat v^\dagger~ c c^\dagger\right) \end{align}$$ Wir messen es dann in den Qubits $|0\rangle, |1\rangle$Basis und verwerfen Sie die Messung . Dadurch wird das Qubit auf beide reduziert $|0\rangle$oder $|1\rangle$und damit die $|0\rangle\langle 1| = c$und $|1\rangle\langle 0| = c^\dagger$Terme der Dichtematrix, also schauen wir uns nur die an $c c^\dagger$und $c^\dagger c$Bedingungen: $$\rho ~cc^\dagger \mapsto \rho ~ c c^\dagger - i~ dt [\eta, \rho] ~ c c^\dagger -\frac{dt^2}4 \left( \hat v^\dagger (\hat v \rho ~ c c^\dagger - ~\rho ~\hat v~ c^\dagger c) - ~(\hat v^\dagger \rho ~ c^\dagger c - \rho ~\hat v^\dagger~ c c^\dagger)~\hat v\right)$$ Wir sehen, dass die $\hat v^\dagger \rho \hat v$Begriffe entsprechen $c^\dagger c$und anscheinend das Gesamtsystem etwas infinitesimal zusammenbrechen, so etwas wie $|\psi\rangle \mapsto |\psi\rangle + \sqrt{dt} v^\dagger |\psi\rangle.$Normalerweise sagen Lehrbücher / Zeitungen per Anweisung, dass "wir messen $\sqrt{dt} \hat v^\dagger$" oder so; dies ist die eigentliche Interpretation: asymptotisch starke Kopplung, die nicht so schnell wächst wie das Messintervall, über das wir sie anwenden, sodass wir aufgrund des Quanten-Zeno-Effekts eine Zustandsverlängerung erhalten .

Durch "Überfahren" des Qubits, was Sie tun, wenn Sie die effektive Dichtematrix des Systems für alle hermitischen Systemoperatoren erhalten möchten, die Erwartungswerte erzeugen und definieren$A = \sqrt{dt/2} ~ \hat v^\dagger$, entspricht dieser physikalische Vorgang der ersten Gleichung, die ich geschrieben habe. Es ist daher die Grenze eines Systems, das an ein Qubit gekoppelt ist, das Sie in jedem Zeitrahmen messen$dt$, die durch einen Wechselwirkungs-Hamiltonoperator an das System gekoppelt ist$(A c^\dagger + A^\dagger c)/\sqrt{dt/2}.$

Andere Ressourcen

Sie können oft sehr ähnliche Ausdrücke ableiten, wenn Sie Ihr System beispielsweise schwach an ein unendliches Bad von Bosonen koppeln, da diese auf ähnliche Weise auch eine konstante Dekohärenz verursachen können. Wenn Sie einige Beispiele wünschen, ist Wisemans Lehrbuch Quantum Measurement and Control vielleicht das Richtige für Sie. (Ich denke, es hatte zum Beispiel einen Laserhohlraum, der natürlich zu diesem Ausdruck tendierte, wo$A$war nur der Vernichter der Bosonen in der Kavität, was erklärt, dass sie zu einem kohärenten Zustand kommen.) Wenn Sie es nicht in Ihrer Bibliothek haben , deckt dieses arXiv-Papier , das ebenfalls oben verlinkt ist, einen Großteil des gleichen Gebiets ab. Das Schlagwort lautet „Quantentrajektorien“, was auch Simulationen von Quantensystemen umfasst, wenn man Messungen hinzufügt.

Nehmen wir an, Sie haben diesen Operator nicht, aber Sie haben nur den selbstadjungierten Hamilton-Teil. Dies bedeutet, dass Sie die übliche Schrödinger-Gleichung (oder Liouville-Gleichung, da sie für die Dichtematrix gilt) haben.

$$i \dot{\rho}=[H,\rho]$$

und die Lösung wird sein$\rho(t)=e^{iHt}\rho(0)e^{-iHt}$, daher entwickelt sich die Lösung gemäß der (stark kontinuierlichen) einheitlichen Gruppe, die Ihrem Hamilton-Operator zugeordnet ist. Mit anderen Worten, Ihre Dichtematrix ist zu jeder Zeit nur eine einheitliche Konjugation der Dichtematrix, mit der Sie begonnen haben. Insbesondere wird sich sein Spektrum nie ändern. Dies bedeutet (zum Beispiel), dass Sie, wenn Sie mit einem reinen Zustand beginnen (Rang-Eins-Projektion), immer in einem reinen Zustand bleiben.

Das eben beschriebene Verhalten ist das eines geschlossenen Systems. Nehmen wir nun an, wir haben kein geschlossenes System, aber wir haben irgendwo eine Umgebung, die mit unserem System interagiert. Insbesondere möchten Sie vielleicht ein Bad in Betracht ziehen und Effekte wie Thermalisierung sehen (was impliziert, dass das Spektrum von$\rho$muss geändert werden!). Sie können natürlich versuchen, Bad + System mit Hamiltonoperatoren zu modellieren und dann das gesamte System zu lösen, aber Sie können das Bad auch direkt verfolgen und sich die Evolutionsgleichung für das verbleibende System ansehen, das Sie interessiert.

Unter ganz allgemeinen Annahmen (Zeithomogenität, Markovianität) erhalten Sie die Lindblad-Gleichung . Der Hamilton-Teil ist der Hamilton-Teil Ihres Systems, und die zusätzlichen Terme (in vielen Fällen der Lindblad-Operator) beschreiben die Auswirkungen der Umgebung. Mit anderen Worten, wenn Sie die richtige Form des Lindblad-Superoperators empirisch erraten können, müssen Sie sich keine Sorgen machen, dass Sie nicht das gesamte geschlossene System modellieren (oder einen Teil davon vergessen können). Dies ist im Wesentlichen das sogenannte Paradigma der „offenen Quantensysteme“.

Kurz gesagt: Der Lindblad-Operator beschreibt die Interaktion Ihres Systems mit einer Umgebung und modelliert die Auswirkungen der Umgebung auf das Modell. Das kann alles sein. Es könnte zum Beispiel sein, dass Sie daran interessiert sind, das Doppelspaltexperiment mit Elektronen zu beschreiben. Der hamiltonsche Teil wären die Elektronen und der Schlitz, aber Sie kennen wirklich nicht alle anderen Teilchen in der Umgebung, Sie haben keine Quantenbeschreibung der Photonenquelle (oder sie ist kompliziert) und Sie haben keine Quantenbeschreibung Ihres Messverfahrens usw. All diese Dinge interagieren jedoch mit Ihrer Messung, sodass Sie sie möglicherweise berücksichtigen möchten (z. B. wenn Sie Dekohärenz sehen möchten). Das Ergebnis des Obigen ist, dass ihr Einfluss auf Ihr System vom Lindblad-Betreiber genau angegeben wird.

Wie findet man den Lindbladian in einer bestimmten Situation? Das ist eine ganz andere Geschichte, von der ich nicht viel weiß...

Ein Detail

Als Erstes möchte ich anmerken, dass der Operator, von dem Sie sprechen, Lindblad-Superoperator genannt wird. Ein Superoperator ist wie ein Operator, der auf andere lineare Operatoren einwirkt (in diesem Fall die Dichtematrix).

Lindblad-Gleichung

Was Sie geschrieben haben, ist als Lindblad-Gleichung bekannt. Die Lindblad-Gleichung ist ein Beispiel für die vielen Gleichungen, die zur Beschreibung der Dynamik offener Quantensysteme verwendet werden. Die Lindblad-Gleichung hat die allgemeine Form von

$$\dot \rho = -i[H, \rho] + [ \sum \gamma (A \rho A^\dagger - \frac 12 A^\dagger A \rho - \frac 12 \rho A^\dagger A)]$$ wobei der Teil in Klammern als Lindblad-Superoperator bekannt ist. Daher kann diese Gleichung umgeschrieben werden als: $$\dot \rho= -i[H, \rho] + L(\rho)$$

Mehr Details

Der Lindblad-Superoperator modelliert die Umgebungsbedingungen, aus denen das offene Quantensystem besteht, wie Dephasierung und Relaxation. Der Betreiber$A$ist als Kollapsoperator bekannt und ist wichtig für die Entscheidung, was der Lindblad-Superoperator beschreibt. Über diesen Operator koppelt die Umgebung an das System. Unterschiedliche Kollapsoperatoren beschreiben unterschiedliche Aspekte der Umgebung.

$\gamma$ist eine wichtige Konstante, die normalerweise die Dephasierungsrate, Rephasierungsrate, Relaxationsrate usw. beschreibt. Es ist im Grunde eine entsprechende Rate für die Kopplung der Umgebung an das System. Es ist auch wichtig für die Master-Gleichung. Beachten Sie, dass wir immer dann, wenn diese Konstante gleich Null ist, die Quantengleichung von Liovillian für ein geschlossenes System ohne Umwelteinflüsse erhalten.

Eine letzte Sache, die ich hinzufügen möchte, ist, dass Sie dem Kommutator beliebig viele Lindblad-Superoperatoren hinzufügen können, um ihn für verschiedene Umgebungsbedingungen zu beschreiben. Man kann es für Rephasierung beschreiben, ein anderes für Dephasierung usw. Es hängt alles von der Umgebung des Quantensystems ab.

Zusammenfassend modelliert der Lindblad-Superoperator eine Umgebungskopplung mit dem System. Ohne sie erhalten Sie ein Modell für ein geschlossenes System ohne Umweltauswirkungen. Deshalb ist der L-Term wichtig.

Mehr Ressourcen

Wer mehr erfahren möchte, sollte sich mit offenen Quantensystemen befassen. Hier ist ein Link , mit dem Sie beginnen können. Dieser Link war auch hilfreich für mich, als ich mich mit offenen Quantensystemen beschäftigte. Und hier ist der Originalartikel von Lindblad über die Lindblad-Gleichung